Arithmetic Geometry of Diophantine Problems
丢番图问题的算术几何
基本信息
- 批准号:0071921
- 负责人:
- 金额:$ 18.3万
- 依托单位:
- 依托单位国家:美国
- 项目类别:Continuing Grant
- 财政年份:2000
- 资助国家:美国
- 起止时间:2000-07-01 至 2004-06-30
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
Abstract for 0071921- SzpiroTechnical description: This is a project in the arithmetic algebraic geometry of diophantine problems. The PI is continuing his work which was successfully used by Faltings in the solution of the Mordell Conjecture and by E. Ullmo, S. Zhang and the PI in the solution of the Bogomolov Conjecture. The use of the modern theory of heights has been very effective. The PI views the Equidistribution Theorem as the solution to the problem of finding lower bounds for solutions of algebraic equations. The question of finding effective upper bounds for solutions of algebraic equations leads to many conjectures. Some are very well known and may be unattainable (the abc conjecture, or the discriminant conjecture for elliptic curves) but the PI has always believed that attacking difficult problems is the secret of success in doing high-level mathematics. The project will concentrate on: a) The study of the degree of Belyi maps (these are coverings of the Riemann sphere ramified in only 3 points and they characterize curves defined over the field of algebraic numbers). b) The study of the Zariski closure of the non-zero p-division points (for p big enough) in an abelian variety as a finite scheme. c) The consequences for the Tate-Shafarevich group of recent results of the PI and J. Pesenti on the discriminant inequality for potential good reduction. d) Dynamical Systems (first on the Sphere then on towers of Shimura varieties): The canonical height associated to these objects should lead to equidistribution statements, for example for CM points (cf the work of Duke).Non technical description: The PI and his collaborators are studying a subject first investigated by Diophantus in ancient Greece: find the solutions in integers of algebraic equations. The modern attack uses algebraic geometry, analysis, and geometry. Many problems in the natural world (asking: How many times? How to decipher?) require a solution in integers. This no doubt explains why number theory, like physics, has been a constant motivation for the development of mathematics.
摘要0071921-Szpiro技术描述:这是一个算术代数几何的丢番图问题的项目。 PI正在继续他的工作,这是成功地使用了法尔明斯在解决莫德尔猜想和E。乌尔莫湾张和PI在解决Bogomolov猜想。 现代高度理论的使用非常有效。 PI将等分布定理视为寻找代数方程解的下界问题的解决方案。 寻找代数方程解的有效上界的问题导致了许多问题。 有些是非常有名的,可能是无法实现的(abc猜想,或椭圆曲线的判别猜想),但PI一直认为,攻击困难的问题是在做高层次的数学成功的秘诀。 该项目将集中于:a)研究的程度Belyi地图(这些覆盖的黎曼领域分歧只有3点,他们的特点曲线定义的领域代数数)。 B)研究交换簇中非零p-除点(p足够大时)的Zapriki闭包作为有限格式。c)PI和J. Pesenti关于潜在好约化的判别不等式的最新结果对Tate-Shafarevich群的影响。d)动力系统(首先在球体上,然后在志村变种的塔上):与这些对象相关的规范高度应该导致等分布声明,例如CM点(参见杜克的工作)。非技术描述:PI和他的合作者正在研究一个由古希腊丢番图首先研究的主题:找到代数方程的整数解。 现代攻击使用代数几何、分析和几何。 自然界中的许多问题(问:有多少次?如何破解?) 需要整数的解。 这无疑解释了为什么数论,像物理学一样,一直是数学发展的一个持续动力。
项目成果
期刊论文数量(0)
专著数量(0)
科研奖励数量(0)
会议论文数量(0)
专利数量(0)
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