Existenz und qualitative Eigenschaften von Gleichgewichtslösungen von Euler-Lagrange Gleichungen aus der nichtlinearen Elastizitätstheorie

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Gegeben sei ein Funktional, das die Energie eines elastischen Körpers modelliert. Die Existenz eines globalen Minimierers dieses Problems wurde bereits 1977 von John Ball in einer fundamentalen Arbeit gezeigt, unbekannt ist jedoch, ob dieser Minimierer die Euler-Lagrange Gleichung löst. Die Frage ist nun, ob überhaupt eine Lösung der Euler-Lagrange Gleichung dieses Funktionals existiert, bzw. ob der globale Minimierer selbst eine Lösung ist. Die hier entstehenden Probleme resultieren zum einen aus der Nichtkonvexität des zugrundeliegenden Variationsproblems wie aber auch aus Wachstumsbedingen des Potenzials, die aus physikalischen Gründen notwendig sind, aber eine Routineanwendung der momentan bestehenden Theorie untersagen. Eine wesentliche Eigenschaft ist nämlich, dass die Energiedichte W(F) gegen ( strebt falls det F ( 0 gilt, wobei mit det F die Determinante der Matrix F bezeichnet wird. Dies reflektiert die physikalische Evidenz, dass unendlich viel Energie benötigt wird, um einen Körper auf das Volumen 0 zu komprimieren. Erfüllt der globale Minimierer des oben beschriebenen Variationsproblems die Euler-Lagrange Gleichung, so erwartet man als direkte Konsequenz dessen das folgende: Zum einen sollte eine Verbesserung der bisher bekannten Regularität des globalen Minimierers möglich sein, zum anderen sollte das Ergebnis zum besseren qualitativen Verständnis von Unstetigkeitsstellen des Minimierers beitragen. Insbesondere die Bildung von Löchern in elastischen Materialien unter Einfluss einer äußeren Kraft sollte in diesem Zusammenhang untersucht werden.