Quantengeometrie: Mathematische Physik auf dem Weg zur Quantengravitation

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Die Vereinigung von Quantentheorie und Gravitation ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme in der modernen Physik. Insbesondere aufgrund fehlender experimenteller Daten ist eine tiefe mathematische Durchdringung dieses Themas von entscheidender Bedeutung. Zur Zeit gibt es im wesentlichen drei Lösungsansätze: Loop-Quantengravitation, nichtkommutative Geometrie und Stringtheorie. Das vorliegende Projekt widmet sich der Quantengeometrie, welche einen Schwerpunkt des erstgenannten Gebietes darstellt. Zugleich sollen Ideen und Methoden mit der Algebraischen Quantenfeldtheorie, die eng mit der nichtkommutativen Geometrie verwandt ist, ausgetauscht und auf diese Weise beide Gebiete miteinander vernetzt werden. Im Rahmen des Projekts soll untersucht werden, inwieweit die Quantisierung von klassischen Theorien eindeutig ist bzw. ob Superauswahlsektoren auftreten. Das Vorliegen von Symmetrien wird dabei eine entscheidende Rolle spielen. Zugleich soll studiert werden, welche Schlüsse aus hochsymmetrischen Modellen, wie sie beispielsweise in der Quantenkosmologie verwendet werden, auf die volle, aber eben noch unbekannte Theorie der Quantengravitation gezogen werden können. Schließlich soll die globale Kovarianz der Gravitation mathematisch adäquat und ohne Trennung in Raum und Zeit behandelt werden. Die verwendeten mathematischen Methoden werden vor allem der Analysis (Globale und Funktionalanalysis) sowie der Geometrie (Differentialgeometrie und Algebraische Geometrie entstammen.