Differential Geometry in the Large

大微分几何

基本信息

  • 批准号:
    0503735
  • 负责人:
  • 金额:
    --
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    2005
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2005-07-01 至 2008-12-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

AbstractAward: DMS-0503735Principal Investigator: Peter LiThe PI will continue the joint investigation with his coauthor,Jiaping Wang, on rigidity and finiteness properties of certain classesof complete manifolds. Motivated by the theorem of Witten and Yau,the PI and Wang proved some rigidity and finiteness results forn-dimensional complete manifolds with Ricci curvature bounded frombelow and has the spectrum of the Laplacian bounded from below by apositive constant. One of the main projects is to consider a morerelaxed hypothesis than the above mentioned. Instead of assuming thatthe spectrum has a positive lower bound, Li and Wang will considermanifolds on which a weighted Poincare inequality is valid. The moregeneral hypothesis will enlarge the class of manifolds underconsideration to include even Euclidean space of dimension at least3. Other projects related to the wieghted Poincare inequality willalso be considered. In particular, its relationship to Agmon'sdistance in the elliptic setting, the work of Li-Yau in the linearparabolic Schroedinger equation setting, and the Perelman's L-lengthin the non-linear parabolic (Ricci flow) setting.The work of Witten-Yau drew conclusion on a certain physical model ofthe universe and showed that there is no worm-hole. A broader purposeof the project is to seek a substantial generalization of their workin a geometric setting. In particular, this research project willgive further understanding of unbounded (infinite) geometric objects.In this sense, a possible long-term effect is the understanding ofother physical models of the universe. The understanding of geometricstructure will also have broader impact on material science. This lineof investigation will yield direct implications to the theory ofpartial differential equations governing the behavior of many physicalmodels and biological models. It is also related to many engineeringproblems, such as, liquid crystals, heat transfer, and imaging.
摘要奖:DMS-0503735主要研究人员:Peter lithe Pi将继续与他的合著者王家平就某些类完备流形的刚性和有限性质进行联合研究。在Witten和Yau定理的启发下,Pi和Wang证明了Ricci曲率从下有界的n维完备流形的一些刚性和有限性结果,并且拉普拉斯的谱从下有正常数有界。主要项目之一是考虑一个比上面提到的更严格的假设。不是假设谱有一个正的下界,Li和Wang将考虑加权Poincare不等式在其上有效的流形。更一般的假设将把所考虑的流形的类别扩大到至少包括3维的偶数欧几里德空间。其他与庞加莱不平等有关的项目也将得到考虑。特别是它与阿格蒙在椭圆背景下的距离的关系,李-尤在线性抛物型薛定谔方程中的工作,以及佩雷尔曼的L在非线性抛物线(利奇流)背景下的工作。维腾-尤的工作得出了关于宇宙的某种物理模型的结论,并证明了不存在虫洞。该项目的一个更广泛的目的是寻求在几何背景下对他们的工作进行实质性的概括。特别是,这项研究项目将进一步了解无界(无限)几何对象。从这个意义上说,一个可能的长期影响是理解宇宙的其他物理模型。对几何结构的理解也将对材料科学产生更广泛的影响。这一系列研究将对控制许多物理模型和生物模型的行为的偏微分方程组理论产生直接的影响。它还涉及到许多工程问题,如液晶、传热学和成像。

项目成果

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