A-posteriori-POD-Fehlerschätzer für nichtlineare Optimalsteuerprobleme bei partiellen Differentialgleichungen

偏微分方程中非线性最优控制问题的后验 POD 误差估计器

• 批准号: 177830628
• 负责人: Professor Dr. Fredi Tröltzsch
• 金额: --
• 依托单位: Fachgebiet Optimierung bei partiellen Differentialgleichungen
• 依托单位国家: 德国
• 项目类别: Research Grants
• 财政年份: 2010
• 资助国家: 德国
• 起止时间: 2009-12-31 至 2013-12-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://gepris.dfg.de/gepris/projekt/177830628?language=en
• 关键词: posteriori; POD; Fehlersch; tzer; nichtlineare

Thema dieses Antrags sind A-posteriori-Fehlerschätzer für optimale Lösungen von Steuerungsproblemen bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, die mit der Methode POD (Proper Orthogonal Decomposition) zur Modellreduktion behandelt worden sind. Infolge der Nichtlinearität sind mit einer A-priori-Fehleranalysis ausgerüstete Techniken wie Balanced Truncation auf absehbare Zeit nicht einsetzbar. Den Antragstellern ist es gelungen, für lineare partielle Differentialgleichungen den Abstand einer auf der Basis von POD berechneten suboptimalen Steuerung zur unbekannten optimalen Steuerung a-posteriori recht genau abzuschätzen und darauf aufbauend die Anzahl der verwendeten POD Basisfunktionen anzupassen. Diese Technik eignet sich auch für parabolische Gleichungen mit zeitabhängigen Koeffizienten, die z.B. für Balanced Truncation noch nicht zugänglich sind. Das Hauptziel dieses Antrags ist die Übertragung dieser Grundidee auf den nichtlinearen Fall. Das ist aus verschiedenen, im Antrag erläuterten Gründen kompliziert. Außerdem sollen die Fehlerschätzer den aus der numerischen Approximation der Zustandsgleichung mit finiten Elementen bzw. finiten Differenzen resultierenden Fehler berücksichtigen, was auch im linearen Fall bisher noch nicht analysiert wurde. Nichtlineare (auch modellreduzierte) Optimalsteuerungsprobleme werden in der Regel iterativ durch eine Folge linear-quadratischer Probleme gelöst. Deshalb soll ferner die Kopplung des Iterationsverfahrens mit dem für lineare zeitvariante Aufgaben bereits vorliegenden A-posteriori-Fehlerschätzer untersucht werden. Die vorgeschlagenen Techniken sind unter einem Optimierungsaspekt zu sehen und dienen zur Schätzung des Abstands berechneter suboptimaler Steuerungen zu lokal optimalen. Sie haben keine Fehleranalysis der reduzierten Gleichung für alle denkbaren Steuerungen zum Ziel. Andererseits sind sie nicht auf Modellreduktion beschränkt, sondern sollen sich zur Bewertung berechneter optimaler Steuerungen eignen, unabhängig von der angewendeten Methode. Die Approximationseigenschaften der POD-Basis können dadurch verbessert werden, dass Information der aktuellen Steuerung in jeder Iteration des verwendeten Optimierungsverfahrens in die Berechnung der POD-Basis einfließt. Hierzu sollen Strategien aus [KV08] oder aus [AH01, AFS00, BCB07] genutzt werden.

这两个Antrags是一个后验Fehlerschätzer为优化Lösungen von Steuerungsproblemen bei nichtlinearen partiellen Differentialleichungen，die mit der Method POD（Proper Orthogonal Decomposition）zur Modellreduktion behandelt沃登方法.非线性的信息是通过一个先验的费勒分析方法得到的，该方法采用了平衡截断法。Den Antragstellern ist es gelungen，für lineare partielle Differentialleichungen den Abstand einer auf der Basis von POD berechneten suboptimalen Steuerung zur unbekannten optimalen Steuerung a-posteriori recht genau abzuschätzen und darauf aufbauend die Anzahl der verwendeten POD Basisfunktionen anzupassen.该技术也可以用于抛物面反射，具有高效率，z.B.对于平衡截断还没有足够的证据。这位最高领导人的愤怒是他的基本原则在没有血缘关系的情况下的失败。这是一个非常复杂的问题，在前面的文章中。我们用有限单元法求解Zustandsgleichung的数值近似。有限差分结果Fehler berücksichtigen，也是在线性下降bisher noch nicht analysiert wurde。在Regel迭代过程中，通过一个Folge线性二次规划问题，可以得到非线性（也是模型简化）最优控制问题韦尔登。Deshalb soll ferner die Kopplung des Iterationsverfahrens mit dem für lineare zeitvariante Aufgaben bereits vorliegenden A-posteriori-Fehlerschätzer untersucht韦尔登. Die vorgeschlagenen Techniken sind unter einem Optimierungsaspekt zu sehen und dienen zur Schätzung des Abstants berechneter suboptimaler Steuerungen zu lokal optimalen.您没有对所有的登巴伦-施图尔恩根-齐埃尔的还原性Gleichung进行过任何分析。Andererseits sind sie nicht auf Modellreduktion beschränkt，sondern sollen sich zur Bewertung berechneter optimaler Steuerungen eignen，unabhängig von der angewendeten Methode. POD基的近似值可以通过韦尔登来实现，在POD基的迭代过程中，可以通过迭代优化来获取信息。从[KV 08]或从[AH 01，AFS 00，BCB 07]得到韦尔登。