Actions and invariants of residually finite groups

残差有限群的作用和不变量

基本信息

  • 批准号:
    0701105
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 12.54万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Continuing Grant
  • 财政年份:
    2007
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2007-07-01 至 2010-06-30
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

The proposal addresses various asymptotic questions in the realm of residually finite groups. The core object of the proposal is a descending chain of finite index subgroups with trivial intersection. These chains give rise to actions on locally finite rooted trees by automorphisms. There is an interesting interplay between the ergodic action on the boundary of such a tree and the finite actions of the coset spaces of the subgroups. One may assign various natural invariants to these chains and actions that turn out to relate to well-known notions in group theory, like amenability, Betti numbers, expanders, bounded generation, the cost, largeness or self-similarity. The methods used in the project borrow tools from topology, probability, number theory, ergodic theory and analysis. Besides group theory, solving the proposed problems would have impact on ergodic theory, number theory and topology. The set of symmetries of any structure forms a group. Thus group theory naturally comes into the picture whenever one needs to analyze symmetries (for instance in chemistry or quantum physics, or inside mathematics, in topology, geometry, number theory and the theory of codes). The main goal of the proposed project is to understand naturally appearing mathematical objects in terms of various estimates on the groups attached to them. Besides establishing surprising connections between distant mathematical principles and thus leading to deep and useful results, the project also has elementary aspects that can be presented on an undergraduate level and thus serve educational purposes. Part of the proposal is to work out and start a new high level Inquiry Based course in algebra, leading to the publication of experimental teaching material.
该提案解决了剩余有限群领域中的各种渐近问题。该提案的核心目标是具有平凡交集的有限索引子群的下降链。这些链通过自同构产生对局部有限根树的作用。这种树边界上的遍历作用与子群陪集空间的有限作用之间存在有趣的相互作用。人们可以为这些链和行为分配各种自然不变量,这些链和行为与群论中众所周知的概念相关,例如顺应性、贝蒂数、扩展器、有界生成、成本、规模或自相似性。该项目使用的方法借鉴了拓扑、概率、数论、遍历理论和分析的工具。除了群论之外,解决所提出的问题还将对遍历理论、数论和拓扑产生影响。任何结构的对称性集合形成一个群。因此,每当需要分析对称性时(例如在化学或量子物理中,或在数学内部,在拓扑、几何、数论和码论中),群论自然就会出现。该项目的主要目标是根据对附属组的各种估计来理解自然出现的数学对象。除了在遥远的数学原理之间建立令人惊讶的联系并从而产生深入而有用的结果之外,该项目还具有可以在本科水平上展示的基本方面,从而服务于教育目的。该提案的一部分是制定并启动一门新的高水平探究式代数课程,从而出版实验教材。

项目成果

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    $ 12.54万
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