Applications of the method of infinitesimal exchangeable pairs in analysis, geometry and statistics

无穷小交换对方法在分析、几何和统计学中的应用

基本信息

  • 批准号:
    0852898
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 7.65万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    2009
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2009-09-01 至 2013-08-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

This award is funded under the American Recovery and Reinvestment Act of 2009 (Public Law 111-5). In earlier work, the PI introduced a new version of Stein's method of exchangeable pairs, called infinitesimal exchangeable pairs, adapted to situations in which the underlying random object is distributionally invariant under the action of a continuous symmetry group. The proposed project involves further applications of this new technique, focusing on two main directions:1) Developing a new approach to proving a certain type of quantitative central limit theorem ``with high probability''. For example, a random projection of a large collection of high-dimensional data points is ``usually'' approximately Gaussian; the empirical spectral measure of a large Wigner-type random matrix is ``usually'' close to the semi-circle law. The proposed project involves using the method of infinitesimal exchangeable pairs in combination with other tools of theoretical probability, e.g. measure concentration and entropy bounds, to prove quantitative versions of statements of this type. Quantifying such statements leads not only to finer information about convergence and dimensional dependence, but also allows applications of the relevant results in fixed (high) dimensions, which is frequently important in applications to geometry, statistics, and computer science.2) Continue the PI's study of value distributions of eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator. In earlier work, the method of infitesimal exchangeable pairs was used to identify a previously unobserved connection between value distributions of eigenfunctions and the behavior of their gradients. Partial results have been obtained in certain examples, namely on large-dimensional spheres and tori; the PI aims to develop a more complete understanding of these examples as well as exploring new applications of previous results in the high-eigenvalue limit on fixed manifolds.Over the past four decades, Stein's method has proved to be a powerful tool for showing that certain randomly constructed objects can be well understood by approximating by classical probability distributions, and giving quantitative information about how good these approximations are. The PI has introduced a new version of the method which can be used to take advantage of the presence of "continuous symmetries" (e.g., the symmetries of the sphere as opposed to those of the cube) in a problem. This new approach has already been successfully applied in studying Riemannian manifolds, convex bodies in Euclidean space, and the compact classical matrix groups, in some cases to prove results rather different from those previously known, and in some cases shedding new light on old results. The proposed project includes applications in convex geometry, spectral geometry, random matrix theory, and statistics. Accordingly, progress made in the proposed research will cut across disciplines as well as adding to the existing infrastructure of available techniques in probability. It is expected that the new techniques developed in the course of the project will be widely applicable to other problems in mathematics. In particular, these techniques will likely be useful in analyzing systems in which there are two levels of randomness, and there is a "typical" behavior for the system, which occurs conditioned on most realizations of one of the types of randomness; such situations occur frequently in mathematics and statistical physics.
该奖项是根据2009年美国复苏和再投资法案(公法111 - 5)资助的。在早期的工作中,PI引入了Stein的可交换对方法的新版本,称为无穷小可交换对,适用于基础随机对象在连续对称群的作用下分布不变的情况。 拟议的项目涉及进一步应用这种新技术,集中在两个主要方向:1)开发一种新的方法来证明某种类型的定量中心极限定理“高概率”。例如,大量高维数据点的随机投影“通常”近似高斯;大型维格纳型随机矩阵的经验谱测度“通常”接近半圆定律。 拟议的项目涉及使用无穷小可交换对的方法,结合其他工具的理论概率,如测量浓度和熵的界限,以证明定量版本的这种类型的声明。量化这些陈述不仅可以获得关于收敛性和维数依赖性的更精细的信息,而且还可以将相关结果应用于固定(高)维,这在几何,统计和计算机科学的应用中通常很重要。2)继续PI对Laplace-Beltrami算子本征函数值分布的研究。 在早期的工作中,无穷小可交换对的方法被用来识别本征函数的值分布和它们的梯度行为之间的以前未观察到的联系。 在某些例子中,即在大维球面和环面上,得到了部分结果; PI的目标是发展对这些例子的更完整的理解,以及探索以前结果在固定流形上的高特征值极限中的新应用。在过去的四十年里,Stein的方法已被证明是一个强大的工具,表明某些随机构造的对象可以很好地理解由经典近似概率分布,并给出关于这些近似值有多好的定量信息。PI引入了一种新版本的方法,可以用来利用"连续对称性"的存在(例如,球体的对称性与立方体的对称性相对)。这种新的方法已经成功地应用于研究黎曼流形,凸体在欧氏空间,和紧凑的经典矩阵群,在某些情况下,证明结果与以前已知的,而在某些情况下,脱落的新的光旧的结果。 拟议的项目包括凸几何,谱几何,随机矩阵理论和统计的应用。因此,在拟议的研究中取得的进展将跨越学科,并增加现有的基础设施的可用技术的概率。 预计在项目过程中开发的新技术将广泛适用于数学中的其他问题。 特别是,这些技术将可能是有用的,在分析系统中,有两个层次的随机性,并有一个“典型”的行为系统,这发生的条件下,大多数实现的一种类型的随机性;这种情况经常发生在数学和统计物理。

项目成果

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