Super-Algebraisch konvergente numerische Verfahren für biperiodische Integralgleichungen

点击翻译按钮获取中文摘要

Die Streuung zeitharmonischer Wellen an biperiodischen Medien ist ein Problem von großer Bedeutung mit Anwendungen in Physik und Elektrotechnik, etwa für die Entwicklung mikro- und nanooptischer Bauteile. Mathematisch handelt es sich bei einem solchen Streuproblem um ein Randwertproblem für die Helmholtz-Gleichung oder die Maxwell’schen Gleichungen in einem unbeschränkten Gebiet mit periodischem Rand. Dieses Randwertproblem kann äquivalent als Integralgleichung auf der biperiodischen Oberfläche formuliert werden. Zur numerischen Lösung dieser Integralgleichungen wird ein Quasi-Kollokationsverfahren vorgeschlagen, das bei entsprechender Glattheit des Randes jede algebraische Konvergenzordnung hp erreicht. Im Gegensatz dazu erreichen etablierte Methoden wie Galerkin- oder Kollokationsverfahren nur eine feste algebraische Konvergenzordung. Für die vorgeschlagene Methode sollen Konvergenz-, Stabilitäts- und Komplexitätsaussagen untersucht werden. Neben Streuproblemen sind auch Transmissionsprobleme zu betrachten, die auf Systeme von Integralgleichungen führen. Das Verfahren soll zur Verifikation der theoretisch erwarteten Konvergenzordnungen numerisch auf einem Parallelcluster realisiert werden.