Finite Elemente Diskretisierungen stationärer Strömungen mit impliziter potenzartiger Rheologie

点击翻译按钮获取中文摘要

Ich beantrage ein DFG-Forschungsstipendium für die Dauer von sieben Monaten zur wissenschaftlichen Zusammenarbeit mit Prof. Endre Süli an der Universität Oxford (England). Die dargestellte Projektskizze entstand in enger Abstimmung mit Prof. Süli. Wir beabsichtigen stabile, konvergente und zuverlässige Galerkin Finite Elemente Approximationen für stationäre Strömungen von Flüssigkeiten mit impliziter potenzartiger Rheologie, zu entwickeln. Das Vorhaben umfasst sowohl die a priori als auch die a posteriori Fehleranalyse der Finite Elemente Approximationen. Darüber hinaus beabsichtigen wir mit Numerischen Simulationen Ideen für die mathematische Analyse der numerischen Algorithmen zu gewinnen und unsere theoretischen Beobachtungen zu bestätigen. Nach meinen Recherchen existieren bisher keine theoretischen Untersuchungen der Stabilität, Konvergenz und Adaptivität von numerischen Approximationen für implizit formulierte Modellen. Die meisten physikalischen Modelle zur Beschreibung von Flüssigkeiten gehen davon aus, dass die Viskosität konstant ist oder explizit von der Temperatur oder kinematischen Größen wie der Scherrate abhängt. Diese Annahmen führen zu den Navier-Stokes Gleichungen oder nichtlinearen Verallgemeinerungen, wie bei elektrorheologischen Flüssigkeiten; siehe zum Beispiel [Lad69, Lio69, R˘už00]. Es wurde bereits 1845 von Stokes in [Sto45] bemerkt, dass die Viskosität nur unter speziellen Umständen unabhängig vom Druck ist. Zum Beispiel kann in der Elastohydrodynamik, wo sehr hohe Drücke auftreten, eine signifikante Abhängigkeit beobachtet werden. In [Raj03, Raj06] beschreibt Rajagopal diese und andere Phänomene, indem er implizite Gesetzmäßigkeiten einführt. Eine interessante Unterklasse davon bilden Flüssigkeiten, bei denen die Scherspannung implizit potenzartig von der Scherrate abhängt; siehe unter anderem die Arbeiten [Mál07, Mál08]. Bulícek, Gwiazda, Málek und Swierczewska-Gwiazda veröffentlichten kürzlich für diese Modelle eine mathematische Existenztheorie. Die dortigen Vorgehensweisen stellen die Grundlegenden Ideen für die Galerkin Diskretisierung in unserem geplanten Forschungsvorhaben bereit. Das Projekt ist über das Forschungsstipendium hinaus auf eine langfristige Zusammenarbeit mit Prof. Süli angelegt.