Recollements of derived module categories, derived simple algebras, recollements generated by projectives and singularity categories

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Derivierte und triangulierte Kategorien haben seit ihrer Einführung durch Grothendieck und Verdier in den 1960er Jahren eine immer wichtigere Rolle gespielt in der algebraischen Geometrie, der algebraischen Topologie und der Darstellungstheorie. 1982 haben Beilinson, Bernstein und Deligne den Begriff des Recollements eingeführt, um triangulierte Kategorie in kleinere Kategorien zu zerlegen. Der Antrag besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil werden die für die Darstellungstheorie wichtigsten triangulierten Kategorien betrachtet, die derivierten Modulkategorien von Algebren. Wir wollen die deriviert einfachen Algebren verstehen, also die Algebren, deren derivierte Modulkategorien sich nicht durch Recollements weiter zerlegen lassen. Unser Ziel ist es, Beispiel von deriviert einfachen Algebren zu konstruieren, die derivierte Einfachheit bezueglich verschiedener derivierter Kategorien zu vergleichen und notwendige und/oder hinreichende Bedingungen für die derivierte Einfachheit einer Algebra anzugeben. Im zweiten Teil des Antrags soll die Methode der Recollements auf die Singularitätskategorie angewandt werden. Wir ordnen jeder Singularitätskategorie ein Recollement triangulierter Kategorien zu. Durch Anwendung unserer Kenntnisse über Recollements wollen wir die differentiell graduierten Algebra verstehen, deren derivierte Kategorie die gegebene Singularitätskategorie ist. Davon wollen wir wichtige Information ableiten wie den Darstellungstyp der Singularitätskategorie (endlich, diskret, zahm oder wild) oder Hom-Endlichkeit.