Geometry of Mapping Class Groups and Surface Bundles
映射类组和曲面束的几何形状
基本信息
- 批准号:1906487
- 负责人:
- 金额:$ 15.09万
- 依托单位:
- 依托单位国家:美国
- 项目类别:Standard Grant
- 财政年份:2019
- 资助国家:美国
- 起止时间:2019-08-01 至 2024-07-31
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
Surfaces are two dimensional spaces which play a fundamental role in many areas of mathematics, especially in topology, geometry, and dynamics. Surfaces can be flat, like a piece of paper, or curved, like the outside of a ball, a donut, or a saddle, and the various shapes they can take often strongly constrain the shapes of the higher dimensional manifolds in which they inevitably occur. An outstanding and ubiquitous example of this phenomenon is a surface bundle, which, like a donut, is a higher dimensional manifold which can be sliced so that the cross-sections are surfaces. Unlike a donut, however, as one moves through most surface bundles, the surface cross-sections can twist and deform in complicated ways. This twisting is encoded in the geometry of the mapping class group, which, among other things, is the collection of all symmetries of the space of shapes that a surface can take.The central aim of this research program is to develop new tools for deepening our understanding of the geometry of the mapping class group and its connection to surface bundles, including by analyzing the geometry of important classes of 4-dimensional bundles coming from dynamics. In more detail, this project will investigate the coarse geometry of the mapping class group, Teichmuller space, and surface bundles over surfaces using the tools of geometric group theory. A unifying aspect of the various parts of the project is the hierarchical nature of these objects and the hyperbolicity of the curve complex. The PI will employ ideas from CAT(0) cubical geometry to study the local coarse geometry of the mapping class group. Using related ideas, the PI will investigate whether the mapping class group satisfies certain conjectures from K-theory. In another direction, the PI will study surface bundles over Teichmuller curves with the aim of developing a new theory of geometrical finiteness for surface bundles. Finally, the PI will study various algorithmic problems in the mapping class group, some of which have applications to surface bundles and symplectic topology.This award reflects NSF's statutory mission and has been deemed worthy of support through evaluation using the Foundation's intellectual merit and broader impacts review criteria.
曲面是二维空间,在数学的许多领域,特别是拓扑学、几何学和动力学中起着重要的作用。 曲面可以是平的,像一张纸,也可以是弯曲的,像球、甜甜圈或马鞍的外部,它们可以采取的各种形状往往强烈地约束了它们不可避免地出现的高维流形的形状。 这种现象的一个突出和普遍存在的例子是表面丛,它像甜甜圈一样,是一个高维流形,可以切片,使横截面是表面。 然而,与甜甜圈不同的是,当你穿过大多数表面束时,表面的横截面会以复杂的方式扭曲和变形。 这种扭曲被编码在映射类组的几何中,映射类组是一个表面可以采取的形状空间的所有对称性的集合。这个研究计划的中心目标是开发新的工具,以加深我们对映射类组几何及其与表面丛的联系的理解,包括通过分析来自动力学的4维束的重要类别的几何形状。 更详细地说,这个项目将研究粗糙的几何映射类组,Teichmuller空间,并使用几何群论的工具在曲面上的曲面丛。 该项目的各个部分的一个统一方面是这些对象的层次性质和曲线复杂的双曲面。 PI将采用CAT(0)立体几何的思想来研究映射类组的局部粗糙几何。 利用相关的思想,PI将研究映射类群是否满足K-理论的某些假设。 在另一个方向上,PI将研究Teichmuller曲线上的曲面丛,目的是为曲面丛建立一个新的几何有限性理论。 最后,PI将研究映射类组中的各种算法问题,其中一些应用于曲面束和辛拓扑。该奖项反映了NSF的法定使命,并通过使用基金会的知识价值和更广泛的影响审查标准进行评估,被认为值得支持。
项目成果
期刊论文数量(1)
专著数量(0)
科研奖励数量(0)
会议论文数量(0)
专利数量(0)
Largest acylindrical actions and Stability in hierarchically hyperbolic groups
分级双曲群中的最大圆柱作用和稳定性
- DOI:10.1090/btran/50
- 发表时间:2021
- 期刊:
- 影响因子:0
- 作者:Abbott, Carolyn;Behrstock, Jason;Durham, Matthew
- 通讯作者:Durham, Matthew
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