Geometry of the braid groups and mapping class groups and their growth

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本研究の目的の一つに、離散群 Γ に対して、ケーリーグラフ内の測地線を見つけるアルゴリズム P を構築することによって、Γの増大級数の具体的な有理関数表示を求め、さらに増大度も求めることを掲げている。令和４年度において、研究代表者・藤井と分担者・佐藤隆夫は、Γ が４本の糸から成るブレイド群の場合に、 Γの元 g の標準的な代表元（g のガーサイド標準形という）からスータブル・スプレッド法を用いて得られる元が測地的にならない不規則な現象の探究を継続した。ガーサイド標準形上に基本的元 Δ の逆元が２個現れる場合に限定して、詳細にその不規則な現象の考察を行った。ガーサイド標準形上の正モノイドの部分のスクエア・フリー元への分割の状況に応じて生じる不規則な現象のパターンをある程度は分類することに成功した。ただ、精密に分類するには困難が生じるとの予測ができた。そこで、ブレイド群よりも扱いが単純である上にブレイド群自体の構造解明に役立つと見込まれる、ブレイド群に付随する随伴群Γ'に注目して、その測地的元の研究に着手した。令和５年度には、随伴群Γ’に対してアルゴリズム P の構築が出来るよう計画している。また、令和３年度には、３本の特異点を持つザイフェルト・ファイバー空間の基本群Λの増大級数の計算が可能であることを示した。令和４年度は、この計算を具体的に実装するコンピューター・プログラムを分担者・逆井と共同で作成することに成功した。令和５年度には、このコンピューター・プログラムによる計算結果をもとにして、群Λの増大級数の複素解析的な性質の研究を進めていくよう計画している。その複素解析的な側面からの研究が群Λの幾何学的な構造の研究にも役立つと期待される。