多重連結領域上のSLEと共形不変な確率場および臨界現象の解明

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本年度は主に次の２点に取り組んだ．（１）半平面容量がカラテオドリ核収束について連続であることの証明，（２）測度値函数の広義一様弱収束と確率過程の収束との間にいかなる関係があるかの調査．（１）複素上半平面内のhullに対し定義される半平面容量は，函数論ならびにSLE理論に現れるポテンシャル論的な量である．hullの全体がなす集合に核収束と呼ばれる自然な収束概念を定義したとき，半平面容量が連続となることについて，Brown運動と調和測度との関係を巧みに用いる確率論的証明を与えた．これは，従前の函数論的な説明に異なる視点を付加し，また縢りBrown運動の力を借りて容易に有限連結領域へと拡張される点でも有益な結果である．本結果をまとめた論文がすでに投稿・受理されている．（２）測度の弱収束そのものに比べ，測度値の函数の広義一様弱収束は取り扱われる場面が非常に少ない．しかし，それは加法過程の収束とLoewner鎖の収束との対応を論じた最近のHotta-Hasebe (to appear in Int. Math. Res. Not.) による結果には自然に現れる．円周における彼らの考察を実数直線において行うため，広義一様弱収束についてサーベイを行った．その結果，先行研究についていくつかの拡張の可能性を見出すことができた．これらは非可換確率論との関係においても有益である．また，Loewner鎖の収束という観点は，有限連結領域上の統計離散模型の収束を議論する際にも関連するものと考えられる．次年度以降，さらなる研究および成果の整理・発表を行っていく予定である．