SLEを拡張する共形不変確率場に対する横断的理論の構築

本年度は主に，Loewner方程式を支配する時間依存の正則ベクトル場を一般化する研究に取り組んだ．古典的なLoewner理論においては，等角写像の族が時刻径数について線型に依存する場合を扱う．その結果，方程式に現れるのは通常の時間偏微分となる．一方，時刻径数への線型依存を仮定しない立場もまた自然である．しかし，その場合は微分の意味を一般化するか，あるいは同値な方法として積分方程式を考えるかする必要がある．代表者自身も過去の研究で前者の立場を採り，有限多重連結領域上の小松・Loewner方程式を一般化している．今回は，単連結領域上ではあるものの，後者の積分方程式の立場を採り，Loewner方程式を一般化した．この定式化の利点は，正則ベクトル場から定義される特徴量の収束と等角写像族の収束とが同値となる点である．この特徴量は，非可換確率論における独立増分過程とも対応しており，それ自身興味深い．また，この等角写像族の収束という視座は，SLE理論において極めて自然に現れ，かつ非常に重要な問題意識である．Loewner積分方程式という定式化を追究することで，多重連結領域上のSLE理論へも新たな視点がもたらされることを期待している．上記した他にも，函数論における古典的な技法を本研究の視点で再収集し，多重連結領域上の解析を遂行するための手掛かりを探った．例えば，タイヒミュラー空間論における古典的な擬等角写像の利用や，極値的長さとポテンシャル論との関係などである．そのような技法を用いて小松・Loewner方程式の具体的な解析を行う方法を検討した．

本年度は主に，Loewner方程式を支配する時間依存の正則ベクトル場を一般化する研究に取り組んだ．古典的なLoewner理論においては，等角写像の族が時刻径数について線型に依存する場合を扱う．その結果，方程式に現れるのは通常の時間偏微分となる．一方，時刻径数への線型依存を仮定しない立場もまた自然である．しかし，その場合は微分の意味を一般化するか，あるいは同値な方法として積分方程式を考えるかする必要がある．代表者自身も過去の研究で前者の立場を採り，有限多重連結領域上の小松・Loewner方程式を一般化している．今回は，単連結領域上ではあるものの，後者の積分方程式の立場を採り，Loewner方程式を一般化した．この定式化の利点は，正則ベクトル場から定義される特徴量の収束と等角写像族の収束とが同値となる点である．この特徴量は，非可換確率論における独立増分過程とも対応しており，それ自身興味深い．また，この等角写像族の収束という視座は，SLE理論において極めて自然に現れ，かつ非常に重要な問題意識である．Loewner積分方程式という定式化を追究することで，多重連結領域上のSLE理論へも新たな視点がもたらされることを期待している．上記した他にも，函数論における古典的な技法を本研究の視点で再収集し，多重連結領域上の解析を遂行するための手掛かりを探った．例えば，タイヒミュラー空間論における古典的な擬等角写像の利用や，極値的長さとポテンシャル論との関係などである．そのような技法を用いて小松・Loewner方程式の具体的な解析を行う方法を検討した．