Loewner equation and SLE theory on multiply connected domains

本年度は，主に以下の三点に取り組んだ．まず一つ目は，前年度に発表したプレプリントの修正および博士学位論文の執筆である．このプレプリントで扱ったのは非常に一般的な増大殻であるが，その解析において等角写像の積分公式の持つ役割および縢りBrown運動が果たす寄与をより明確にする修正を行った．また，同結果を中心とし，それらとSLEとの関係，函数論における位置付けをも詳述した学位論文を上梓した．そのうちの一部について，ポスター発表を行った．次に二つ目は，小松・Loewner発展に対する領域の「穴」への衝突条件の探求である．前年度に得たPoisson核の粗い評価のみでは衝突の判定条件を得られなかった．そこで，本年度はさらなる二つの方針を検討した．一つ目は，極値的長さから領域の幾何学的情報を引き出す方針である．その結果，本研究の設定では，「極値的長さを定義する道の族が領域の全体を通過するとは限らない」という性質が障害となることが分かった．二つ目に検討した方針は，すでに知られたGreen函数の精密な評価に拠るものである．後者には，既存の結果における境界の滑らかさの仮定を緩められるか，不等式の係数を時刻について普遍的に取れるか，といった問題点があり，今後も引き続き検証していく．最後に三つ目は，弦状Loewner積分方程式に関する新たな共同研究の計画・開始である．この共同研究の目的は，（単連結領域に関する通常の）Loewner鎖，非可換確率過程，加法過程という3つの数学的対象の間にある全単射対応を解明することである．この共同研究の準備として，弦状Loewner鎖に関する既存の事実を本研究独自の観点で収集・整理した．今後，実質的な共同研究作業を開始する．

本年度は，主に以下の三点に取り組んだ．まず一つ目は，前年度に発表したプレプリントの修正および博士学位論文の執筆である．このプレプリントで扱ったのは非常に一般的な増大殻であるが，その解析において等角写像の積分公式の持つ役割および縢りBrown運動が果たす寄与をより明確にする修正を行った．また，同結果を中心とし，それらとSLEとの関係，函数論における位置付けをも詳述した学位論文を上梓した．そのうちの一部について，ポスター発表を行った．次に二つ目は，小松・Loewner発展に対する領域の「穴」への衝突条件の探求である．前年度に得たPoisson核の粗い評価のみでは衝突の判定条件を得られなかった．そこで，本年度はさらなる二つの方針を検討した．一つ目は，極値的長さから領域の幾何学的情報を引き出す方針である．その結果，本研究の設定では，「極値的長さを定義する道の族が領域の全体を通過するとは限らない」という性質が障害となることが分かった．二つ目に検討した方針は，すでに知られたGreen函数の精密な評価に拠るものである．後者には，既存の結果における境界の滑らかさの仮定を緩められるか，不等式の係数を時刻について普遍的に取れるか，といった問題点があり，今後も引き続き検証していく．最後に三つ目は，弦状Loewner積分方程式に関する新たな共同研究の計画・開始である．この共同研究の目的は，（単連結領域に関する通常の）Loewner鎖，非可換確率過程，加法過程という3つの数学的対象の間にある全単射対応を解明することである．この共同研究の準備として，弦状Loewner鎖に関する既存の事実を本研究独自の観点で収集・整理した．今後，実質的な共同研究作業を開始する．