ホモトピー論を用いた作用素環の研究

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作用素環のとりわけCuntz環のバンドルに対して、代数トポロジーとK-理論を用いた不変量の研究を行った。強自己吸収的な作用素環を使ってM.Dadarlat、U.Pennig両氏が導入したDadarlat-Pennigコホモロジー群を使って、Cuntz環のバンドルの不変量を構成することができた。この不変量は次のような問題を解決した。Cuntz環はベクトル空間から構成することができる為、ベクトルバンドルを使ってCuntz環のバンドルを構成することができる。ただし全てのCuntz環のバンドルをこの方法で構成できるわけではなく、ホモトピー論的な障害があることが知られていた。今回導入した不変量に対して、その消滅性とベクトルバンドルからの構成可能性が同値であることを示した。これによって与えられたCuntz環のバンドルがベクトル束から構成できるのかどうかを判定することができるようになった。さらにこの不変量の構成を調べることで異なる２つの作用素環（Cuntz環と無限Cuntz環係数の行列環）の自己同型群が同じホモトピー論的な性質を持つという現象を見つけた。これにはK-理論におけるSpanier-Whitehead双対が関係していることがわかってきており、今後この現象についてさらに研究を推し進める。