拡散ロジスティック方程式の定常問題における最適棲息分布の研究

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本研究課題では，拡散ロジスティック方程式の定常解に着目し，拡散の程度と餌の分布が生物分布にもたらす数理的メカニズムの解明を目指している．具体的には，拡散係数と資源関数を様々に変化させて，解の積分量と資源関数の積分量の比を調べるという最適棲息分布問題に従事している．これは，生物モデルの見地から「限られた餌の下での個体数の最大化問題」と捉えられ，2012年頃にWei-Ming Ni氏により提起された．この問題に関連する先行研究として，Bai-He-Liによって空間1次元ノイマン境界条件ではその上限は3で，Inoue-Kutoによって高次元球領域のノイマン境界条件では無限大であることが知られていた．そこで2022年度は，上述の最大化問題を境界が滑らかな一般領域でかつ第3種境界条件（ロバン境界条件）の場合に一般化して考察した．結果としては，条件を一般化しても積分量の比の上限は1次元では3で，高次元では無限大となることを得た．特筆すべき点は，積分量の比を上限へと近づける拡散係数と資源関数の列は，元の問題の列と同じである点である．すなわち，資源関数を領域の内部にデルタ関数の近似列の形で局在化させ，それに応じて適当な拡散係数を選ぶ列である．つまり積分量の比を考えるうえで，拡散係数を適切に調整すれば，局在化した資源関数のピーク周辺の情報が支配的であって，境界付近の性質の積分量の比への寄与は小さいということである．以上により，拡散ロジスティック方程式の定常問題において最適棲息分布問題を考察したときに，境界条件や領域の形状は本質的な違いをもたらさないことが本研究によって明らかとなった．