Gyro structure on the symplectic lattices and matrix inequalities

半単純リー群における一般化された球充填問題は数の幾何におけるエルミート定数等と関連し、興味深い対象である。そのうち渡部隆夫による行列式型高さ関数による一般化には、古典的な４次の一般線形群のジーゲル放物型部分群に付随する高さ関数が内包され、いわゆるランキン定数に対応するという面で非常に興味を持っているが、ランキン、クーランジェオンに始まるこの対象はまだまだ研究が少ない。しかし特別な場合である階数2のシンプレクティック群の場合は一般化されたエルミート定数が、シンプレクティック格子としてのD4格子により与えられることがわかる。この場合、完全格子のリストも得られる。これは一つには幸運にもジーゲル及びゴットシュリンクの基本領域に関する基礎研究があり、また行列式型高さ関数のアダマール不等式およびエルミート不等式が効果的に働いているという側面がある。この一般化や別のリー群への応用を考えるには、基本領域や行列不等式の基礎研究が不可欠であると思い、ジャイロ群上の不等式やR.バーティアの一連の正値行列の満たす行列不等式を応用することをこの研究では模索中である。また高階のリー群への応用を考える際、階数1のデータも有用であると考えローレンツ群の球充填問題を考えることも有益であると考える。こちらは12次のローレンツ群にはちょうど9種類の完全格子があることなどを得ている。今後の研究の展開として、これらは、E.ビンバーグの類数の計算やD.シキリッチの結果と比較によるとさらに大きい次数への計算が期待できると思う。

半単純リー群における一般化された球充填問題は数の幾何におけるエルミート定数等と関連し、興味深い対象である。そのうち渡部隆夫による行列式型高さ関数による一般化には、古典的な４次の一般線形群のジーゲル放物型部分群に付随する高さ関数が内包され、いわゆるランキン定数に対応するという面で非常に興味を持っているが、ランキン、クーランジェオンに始まるこの対象はまだまだ研究が少ない。しかし特別な場合である階数2のシンプレクティック群の場合は一般化されたエルミート定数が、シンプレクティック格子としてのD4格子により与えられることがわかる。この場合、完全格子のリストも得られる。これは一つには幸運にもジーゲル及びゴットシュリンクの基本領域に関する基礎研究があり、また行列式型高さ関数のアダマール不等式およびエルミート不等式が効果的に働いているという側面がある。この一般化や別のリー群への応用を考えるには、基本領域や行列不等式の基礎研究が不可欠であると思い、ジャイロ群上の不等式やR.バーティアの一連の正値行列の満たす行列不等式を応用することをこの研究では模索中である。また高階のリー群への応用を考える際、階数1のデータも有用であると考えローレンツ群の球充填問題を考えることも有益であると考える。こちらは12次のローレンツ群にはちょうど9種類の完全格子があることなどを得ている。今後の研究の展開として、これらは、E.ビンバーグの類数の計算やD.シキリッチの結果と比較によるとさらに大きい次数への計算が期待できると思う。