ディリクレ基本領域が導く閉双曲多様体の多面体分割の構成と特徴付け

双曲平面とは、定曲率-1のリーマン多様体であるが、ユークリッド平面における平行線公準の成り立たない世界として構築された。そのため、平行線に関係するユークリッド平面での定理の一部が、双曲平面では成り立たなかったり、形を変えて成り立ったりしている。この研究では、双曲平面に作用する離散群が定める曲面のディリクレ領域を決定することを最終的な目標としており、その第一歩として離散群が三角群の場合を詳しく調べる。三角群がコンパクトな場合には、ユークリッド平面上の三角形に対するチェバの定理に対応する、双曲平面上の三角形に対するチェバの定理が重要な役割を果たして、ディリクレ領域の決定が既になされている。そこで、既知の結果をコンパクトとは限らない三角群に一般化するには、理想頂点や超理想頂点が混在する三角形に対して、双曲平面上のチェバの定理を一般化することが必要となる。なお、理想頂点や超理想頂点というのは、ユークリッド平面上の三角形に対しては生じず、双曲平面上の三角形に特有の現象である。今年度の研究では、そのような三角形に対するチェバの定理の一般化の証明を行うために、Cayley-Klein幾何学として双曲平面を捉え、証明の方針を得ることができた。Cayley-Klein幾何学とは、射影空間に二次形式を設定することで距離や角度を定義し、幾何学を定めるものであり、双曲幾何学だけではなくユークリッド幾何学や球面幾何学も、Cayley-Klein幾何学として定義することができる。Cayley-Klein幾何学として双曲平面における、理想頂点や超理想頂点の取り扱いを詳しく調べることで、求めるチェバの定理の証明の方針を得ることができ、その成果を幾つかの研究集会で発表し専門家と議論を交わした。

双曲平面とは、定曲率-1のリーマン多様体であるが、ユークリッド平面における平行線公準の成り立たない世界として構築された。そのため、平行線に関係するユークリッド平面での定理の一部が、双曲平面では成り立たなかったり、形を変えて成り立ったりしている。この研究では、双曲平面に作用する離散群が定める曲面のディリクレ領域を決定することを最終的な目標としており、その第一歩として離散群が三角群の場合を詳しく調べる。三角群がコンパクトな場合には、ユークリッド平面上の三角形に対するチェバの定理に対応する、双曲平面上の三角形に対するチェバの定理が重要な役割を果たして、ディリクレ領域の決定が既になされている。そこで、既知の結果をコンパクトとは限らない三角群に一般化するには、理想頂点や超理想頂点が混在する三角形に対して、双曲平面上のチェバの定理を一般化することが必要となる。なお、理想頂点や超理想頂点というのは、ユークリッド平面上の三角形に対しては生じず、双曲平面上の三角形に特有の現象である。今年度の研究では、そのような三角形に対するチェバの定理の一般化の証明を行うために、Cayley-Klein幾何学として双曲平面を捉え、証明の方針を得ることができた。Cayley-Klein幾何学とは、射影空間に二次形式を設定することで距離や角度を定義し、幾何学を定めるものであり、双曲幾何学だけではなくユークリッド幾何学や球面幾何学も、Cayley-Klein幾何学として定義することができる。Cayley-Klein幾何学として双曲平面における、理想頂点や超理想頂点の取り扱いを詳しく調べることで、求めるチェバの定理の証明の方針を得ることができ、その成果を幾つかの研究集会で発表し専門家と議論を交わした。