Structure and logarithmic plurigenera of normal affine surfaces

点击翻译按钮获取中文摘要

射影有理曲面上の既約曲線の補集合、ピカール数1の正規del Pezzo曲面、および、多項式環の部分代数について研究した。今年度に主に得られた成果は次の通りである。(1) 高橋剛氏、唐澤翔太朗氏 (新潟大学大学院生) と共同で、ヒルゼブルフ曲面上の既約曲線の補集合について研究し、補集合の対数的小平次元が2になるための曲線の種数や次数に関する十分条件を与えた。これらは射影平面曲線の場合に若林功氏や吉原久夫氏によって得られた結果のヒルゼブルフ曲面版になっている。更に、ヒルゼブルフ曲面上の尖点有理曲線で特異点が2個のものについて、その補集合の対数的小平次元が0以上となることを示し、更に、補集合の対数的小平次元が0となる場合の構成方法を与えた。(2) 服部京平氏 (新潟大学大学院生) と共同で、有理数体を含むUFD (一意分解整域) 上の多項式環の導分の冪零元からなる環について研究した。冪零元からなる環の超越次数が1以下のときは、その環はUFD上1個の元で生成されることを証明した。更に、2変数多項式環上の単項式導分（変数の像が単項式となる導分）について、その冪零元からなる環を決定した。これらの結果は服部氏との共著論文にまとめ、現在、投稿中である。(3) 標数0の代数閉体上のピカール数1の正規del Pezzo曲面について、その曲面が有理対数的標準特異点のみを持ち、更に川又対数的端末特異点でないものを含む場合の分類を調べた。そのような曲面の非特異部分に対して開代数曲面の極小モデルを走らせることにより、その曲面がアフィン直線の線織構造を持たない（アフィン線織的でない）場合の構成方法が分かった。また、澤原雅知氏（埼玉大学研究員）と共同で、アフィン平面の有限群商として現れるアフィン代数曲面の極小コンパクト化として現れる、ピカール数1の正規del Pezzo曲面の部分的分類を行った。