双曲絡み目のパラボリック表現とねじれアレキサンダー多項式に関する研究

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本研究の目的は、双曲絡み目のパラボリック表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の基本的性質を明らかにし、そこから得られる代数的性質を用いて、絡み目の幾何学的性質を特徴付ける枠組みを与えることである。より具体的には、以下の2点を明らかにすることが目標となる：（A）双曲絡み目のパラボリック表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の明示公式、（B）得られた多項式の性質と、双曲絡み目のファイバー性やサーストンノルムとの関係。この研究目標に対して、今年度は以下の成果を得た：（１）Friedl-Vidussiのファイバー性に関する消滅定理について、これまで具体的な例は知られていなかったが、3次元球面内の非ファイバー結び目とその線形表現で消滅定理を満たすものを組織的に構成した（明治大学の鈴木正明教授との共同研究）。（２）円周上の1点穴あきトーラス束のSL(3,C)-既約表現の1-パラメータ族（Mangum-Shanahan曲線）について考察し、三葉結び目補空間のMangum-Shanahan曲線の種数を具体的に計算した。これと、昨年度得られた8の字結び目補空間のMangum-Shanahan曲線の種数に関する結果を組み合わせることで、これらの曲線が位相的に異なることを示した。（３）双曲的ファイバー結び目の双曲体積の明示公式として、（組み合わせ数学に現れる）ベル多項式を用いた表示を導いた（東京農工大学の合田洋教授との共同研究）。一方、本研究計画の遂行にあたり、専門的知識を得るための貴重な機会と捉えていた「トポロジーセミナー」を、COVID-19の長期的な影響により、今年度も開催することができなかった。