基本群の表現と円周上の曲面束の位相不変量に関する研究

曲面丛在圆周上的基本群表示及拓扑不变量研究

• 批准号: 14740036
• 负责人: 森藤 孝之
• 金额: $ 1.66万
• 依托单位: Tokyo University of Agriculture and Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740036/
• 关键词: 基本群の表現; 和田多項式; ファイバー結び目; 円周上の曲面束; 双曲体積; L^2-torsion

今年度は,3次元多様体の基本群の表現を用いて構成される代数的不変量について,主として研究を行った.特に3次元球面内の結び目補空間の基本群について,それがいつ整数環と曲面群との半直積に同型になるかを判定する必要条件について考察した.以下,得られた結果の概略を述べる.上記のような基本群の構造をもつ3次元球面内の結び目はファイバー結び目と呼ばれ,これまでに多くの研究が重ねられてきた一方,その判定は幾何学的・代数的にも一般には非常に難しい問題として知られている.これを代数的に捉える一つの古典的な結果として,ファイバー結び目のアレキサンダー多項式はモニック多項式(最高次係数が1)になることが知られている.この結果を踏まえ,基本群の表現の情報を取り込んだ和田多項式(アレキサンダー多項式の一つの一般化)についても,ファイバー結び目に対してはモニック多項式で表されることを示した.これにより,アレキサンダー多項式の情報だけではファイバー性を判定できなかった多くの例につても,その判定が容易にできるようになった.最後に,これらの計算を実行するにあたり,計算機を用いた数値実験が一役を担っていることを付記しておく.

This year, the fundamental groups of 3-dimensional polyhedrons are represented by the algebraic variables, and the main research is carried out. In particular, the essential conditions for determining the congruence of the fundamental group of the complex space in the three-dimensional sphere are investigated. The following is a summary of the results. The structure of fundamental group is very difficult to solve in 3-dimensional sphere. The classical results of this algebra can be found in the polynomial of the highest degree (coefficient 1). As a result, the information about the behavior of the fundamental group is obtained from the equation and the polynomial (a generalization of the polynomial). The information of the polynomial is divided into two parts: the first part is easy to determine and the second part is easy to determine. Finally, the calculation is carried out, and the computer is used to calculate the number of tasks.

项目成果

Takayuki Morifuji: "On Algebraic K-theory, homology spheres and the η-invariant"Surikaisekikenkyusyo Kokyuroku. 1279. 8-25 (2002)

Takayuki Morifuji：“论代数 K 理论、同调域和 η 不变量”Surikaisekikenkyusyo Kokyuroku。 1279. 8-25 (2002)

Takayuki Morifuji: "Reidemeister torsion, twisted Alexander polynomial and fibered knots"Surikaisekikenkyusho Kokyuroku. 1329. 163-166 (2003)

Takayuki Morifuji：“Reidemeister 扭转、扭转亚历山大多项式和纤维结”Surikaisekikenkyusho Kokyuroku。

Takayuki Morifuji: "L^2-torsion of a surface bundle over S^1"Surikaisekikenkyusyo Kokyuroku. 1329. 167-172 (2003)

Takayuki Morifuji：“L^2-S^1 上表面束的扭转”Surikaisekikenkyusyo Kokyuroku。

Takayuki Morifuji: "L^2-torsion invariants of a surface bundle over S^1"Journal of the Mathematical Society of Japan. (in press).

Takayuki Morifuji：“L^2-S^1 上表面丛的扭转不变量”日本数学会杂志。

Takayuki Morifuji: "L^2-torsion of a surface bundle over S^1 and a hyperbolic volume (II)"Surikaisekikenkyusyo Kokyuroku. 1270. 24-28 (2002)

Takayuki Morifuji：“L^2-表面束在 S^1 和双曲体积上的扭转 (II)”Surikaisekikenkyusyo Kokyuroku。