量子散乱のダイナミクスと逆問題の研究

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・$c>0$とするとき$-\Delta+c|x|^2$を調和振動子といい、よく知られた基本的な量子力学のモデルである。調和振動子の下では粒子は束縛状態を形成し、空間遠方に散乱することはない。一方$c$の前の符号を反転させて$-c$としたものをリパルシヴといいい、この場合、粒子は時間に関して指数増大のオーダーで空間遠方に散乱する。相互作用を表すポテンシャル関数$V=V(x)$を加えた全ハミルトニアン$-\Delta-c|x|^2+V$の支配する量子力学系において、粒子の散乱を示唆する波動作用素が存在するためのポテンシャル関数の空間減衰の必要条件は、2016年に研究代表者によって解明された。一方、$0<\alpha<2$に対して$-c|x|^\alpha$へと取り替えたものを劣2次の調和振動子という。この場合に波動作用素が存在するための十分条件は知られていたが、必要条件は知られていなかった。本年度、愛媛大学理工学研究科の川本昌紀氏との共同研究によって、この必要条件を与えそれを証明することができた。より具体的には、ポテンシャル関数のある条件の下での波動作用素の非存在を証明した。その証明手法も、ムール理論と随伴作用素に対する伝播評価を用いたこれまでにない新しいものである。論文はすでにプレプリントサーバarXivにて公開している。本研究成果は、代表者が2022年度に採択され2022年12月に実施した京都大学数理解析研究所RIMS共同研究グループ型A「スペクトル・散乱理論とその周辺」において、共著者の川本氏によって発表がなされた。・上述の調和振動子$-\Delta+c|x|^2$の定数$C$を時間に依存しているもの$c=c(t)$とした場合の波動作用素が存在する必要条件の研究についても、川本氏との2022年の共同研究によって2篇論文を出版したが、2篇目の論文について2022年日本数学会秋季総合分科会函数解析学分科会の一般講演にて発表を行なった。