界面流を伴う二相流の数理モデリングおよび数理解析

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本研究の目的は、大気中を浮遊するシャボン玉、大気や海洋の流れ、氷の融解等の界面流（表面流）を伴う二相流の現象において、二相の境界（界面）上の粒子がどのような支配のもとで流動しその流れがどのように変化していくかを数理的手法によって解き明かすことである。具体的には、エネルギー変分法を用いて界面流を伴う自然現象を記述する方程式を導出すること（数理モデリング）、および、その方程式の解の存在性や性質を数学的に調べること（数理解析）である。本年度は、界面流を伴う非粘性流体の流れを記述する支配方程式の導出(数理モデリング)の研究を行った。ある固定領域内で動く領域を考え、その動く領域の境界上(界面上)の粒子の動き、および、界面で分離された２つの動く領域内の粒子の動きの依存関係についてエネルギーの観点から調査を行った。手法として、界面内の流体(粒子)を非粘性圧縮性流体、２つの領域内の流体(粒子)を非粘性圧縮性流体としエネルギー変分法を用いて支配方程式の導出を試みた。具体的には、領域内の流体粒子の運動エネルギーと圧力ポテンシャルによる仕事の総和の(時空間に関する)積分である作用積分(エネルギー)および界面内の流体粒子の運動エネルギーと圧力ポテンシャルによる仕事の総和の(時空間に関する)積分である作用積分(エネルギー)を考え、その総和のエネルギー(以降、全エネルギーと呼ぶ)を安定する力を調査し、界面流を伴う非粘性流体の流れを支配する方程式の導出を行った。全エネルギーを安定させる力を調べるために、自然な境界条件を与え、その条件を保ちながら流体粒子が動くという条件のもとで幾何変分を行い安定する力をとりだした。研究実績として、界面流を伴う非粘性二相流方程式の導出に成功した。粘性の影響や流体の温度を調べるために、さらなる研究が必要である。