回転と成層の影響を考慮した地球流体方程式の数学解析

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大気や海洋などの大規模なスケールの流体のことを総称して地球流体と呼ぶ。地球流体は回転(地球の自転)と成層(温度や密度成層)の影響をうけており、回転や成層パラメータを含む速度場、温度場、圧力場を連立した方程式で表現されると考えられている(地球流体方程式)。ここで大気の流れを考えてみると地面付近では摩擦などの影響があるため上層とは違う流れ(層)ができると予想され実際に形成されている。その境界層をエクマン境界層とよぶ。研究内容は、回転や成層パラメータに着目して地球流体方程式の時間大域的な解を構成すること、エクマン境界層の安定不安定性解析、球面上領域での地球流体方程式の解析である。平成23年度は、三次元全空間領域や三次元半空間領域において地球流体方程式を考察し、時間大域的な解の存在、定常解(エクマン境界層)の構成とその安定性の研究を行った。平成24年度は、滑らかな境界を持つ一般領域におけるブシネスク型方程式(地球流体方程式を含む)の数学解析と球面(曲面)上での流体の流れの解析を行った。研究成果として、全空間や半空間だけでなく一般的な領域においても、物理的パラメータ(方程式に含まれるパラメータ)がエネルギー不等式を成立させる場合、初期値が滑らかで十分小さければ、地球流体方程式は時間大域的な一意解を持つことが得られた。さらに、パラメータに制限を加えることによりその大域的な解は安定であることも示せた。この研究から、より多くの型の非圧縮性流体方程式のエネルギー解の安定性が得られ、より現象に近い状態での地球流体方程式の数学解析が行えるようになった。曲面上の流れに関しては、粘性やエネルギーに着目して曲面上での流体の流れを支配する方程式の導出を行った。回転や成層を考慮するためにはさらなる研究が必要である。