巨大基数の崩壊モデルへの新たなアプローチ

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公理的集合論における重要なテーマに、小さな無限基数が非常に強い組合せ論的性質を持つようなモデルを構成する問題がある。そのようなモデルは通常、巨大基数が存在するモデルから出発して、崩壊代数によって巨大基数を小さな基数に崩壊させた強制拡大として得られる。また、巨大基数が強い意味での極大フィルタの存在で特徴付けられることから、小さな無限基数が持つべき強い組合せ論的性質として、極大性を弱めることによって得られる、種々の飽和性を持つフィルタの存在が考えられてきた。本研究では、膨大基数を後続基数に崩壊させて強い意味での中心的フィルタが存在するモデルが得られた。ForemanとLaverによる先行研究では、中心的フィルタのモデルのために、Silverによる崩壊代数の入れ子積を元にKunenの手法によって構成された崩壊代数が用いられた。Kunenの手法では、広義の無限反復強制法が使われる。本研究では、Levyによる崩壊代数の入れ子積の２回反復強制法で十分であることを示し、先行研究での構成を大幅に簡易化することができた。本研究で用いた崩壊代数が有向閉の性質を持つことから、Laverによるモデルから出発することにより、超コンパクト基数の後続基数に中心的フィルタが存在するモデルを構成することができる。超コンパクト基数を特異基数に変えるPrikry型の強制法が種々知られていることから、特異基数の後続基数に強い意味での飽和性を持つフィルタをのせることができる。