Explicit dual formulations of continuous optimization problems and their applications

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本研究では，連続最適化の陽にかける双対問題を利用して，実用化の障壁となる「モデル化の壁」と「アルゴリズムの実装の壁」を解決することを考える．本年度の目的は，双対性を利用して，不確実なデータを含む最適化問題や均衡問題，またそれらの応用問題を効率よく解く手法を開発することである．さらに一般ゲージ双対問題を含めた，新しい最適化モデルの構築の検討を行うことであった．その目的に対して以下の成果を得た．・パラメータに不確実性を有した均衡問題の均衡解の性質を解明することは重要である．本研究では，不確実性を有し，さらいに意思決定機会が2回あるシュタッケルベルグ型ゲームに対して，均衡解が存在する条件を与えた．さらに，双対性を利用して均衡解を求める手法を開発した．・非線形方程式に対するLevenberg-Marquardt法において，正則化項を一般化した手法を提案し，その収束性を解明した．さらに，正則化項にL1ノルムを用いた場合の部分問題に対して双対性を利用した解法を開発した．・データとの適合度を制約条件にもつL1正則化問題(Basic Pursuitなど)に対して，双対問題を導出し，その双対問題の特性を利用した有効制約法を提案した．さらに提案手法が有限回の反復で終了することを示した．・凸関数と凸関数との差で表された関数で構成された問題(DC計画問題)の双対問題は，その凸関数の共役関数の差で表された関数によって構成された問題となることが知られている．これはフェンシェル双対の一般化とみなせる．今年度は，ゲージ関数とゲージ関数の差で表せる問題を考え，その双対性について検討した．DC計画問題とは違い，ゲージ関数とゲージ関数の差で構成された問題では有界とならないことがある．そのため，制約条件を含むモデルの構成が重要となることがわかった．