団理論の視点からのマッカイ対応とその拡張

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実2次元のトーラス上に描かれた二部グラフを「ダイマー模型」と呼ぶ。3次元Gorensteinトーリック特異点の「射影的クレパント特異点解消」は、ダイマー模型に付随する箙の表現のモジュライ空間として記述できることが知られている。この特異点解消は一意的に存在するとは限らないが、箙に対して定義される「安定性パラメータ」を取り替えることによって、すべての射影的クレパント特異点解消を構成することができる。安定性パラメータの集合は「部屋構造」を持っており、同じ部屋に属するパラメータからは同型なクレパント特異点解消が得られるが、壁を越えて別の部屋に移るとクレパント特異点解消の構造も変わり得る。一方、ダイマー模型からは、3次元Gorensteinトーリック特異点の「非可換クレパント特異点解消」も構成することができる。これはクレパント特異点解消と導来同値となる非可換代数であり、「極大modifying 加群」の自己準同型環として記述される。非可換クレパント特異点解消も一意的に存在するとは限らないが、極大modifying 加群の「変異」という操作によって関連付けられる。トーリックcDV（compound Du Val）特異点の場合には、上記の部屋構造における壁越えを極大modifying 加群の変異により記述できることが知られており、表現論的視点から射影的クレパント特異点解消を考察することができる。今年度の研究では、トーリックcDV特異点の場合について、上記の部屋構造と壁越え（および対応する変異）をダイマー模型の組合せ論的性質を用いて考察した。その結果として、部屋構造・壁越えをダイマー模型の「ジグザグ道」を用いて記述することができた。本研究に関しては、現在論文を執筆中である。