Study of the Langlands functoriality via an explicit local Langlands correspondence

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今年度はまずLanglands関手性の振る舞いを二次外積および二次対称積の場合にGalois側で考察した．その結果，特殊な超尖点表現に対してではあるが，Swan導手という不変量がこれらの関手性の下でどう変化するかについての明示的な公式を得ることができた．更にこの公式を応用することで，p進斜交群の「単純超尖点表現」と呼ばれる超尖点表現に対する局所Langlands対応を具体的に記述するという結果も得られた．これらの結果は既に論文としてまとめて雑誌に投稿済みであり，いくつかのセミナーや学会などでも発表を行っている．この問題から派生して，p進直交群の場合にも単純超尖点表現の局所Langlands対応を記述するという問題に取り組み，斜交群の場合と同様の結果を得ることができた．こちらの結果についての論文はほとんど書き上がってはいるものの，年度内には完成させることができなかった．また，以上の研究を進める中で，Swan導手の二次外積・対称積での振る舞いは，素数pが2の時に特に難しくなるということが分かってきた．Swan導手についての具体的な不等式を予想として立てることができ，その根拠と言えるだけの豊富な例を計算することもできたのだが，証明を与えるには至れなかった．このケースは正則超尖点表現の枠組みには含まれておらず，当初予定していた研究計画の範疇外にあるとは言えるが，大変興味深い現象であるため，残りの研究期間ではこの方向性の研究も進めていきたいと考えている．