Study of the Langlands functoriality via twisted harmonic analysis

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今年度は採用終了日までに主に３つの研究を行った．一つ目は捻られた近似の理論に関する研究である．本研究の目標は，Adler-Spiceによる指標公式の捻られた変種を確立し，それを指標関係式の問題に応用することであった．そしてそのためには，指標公式において核となる役割を果たす「近似の理論」に関しても，捻られた変種を考える必要がある．そこで今年度はまず近似の理論の習熟に努めた．また一方で，Kalethaによる指標関係式の証明を参考にして，捻られた近似に要求されるべき性質に関しても時間をかけて考察をした．二つ目に行ったのは，Galois表現の導手の計算に関する研究である．本研究課題の研究計画で言及していた「形式次数予想」を用いることで，Galois表現の導手の計算を，p進簡約群の表現論の問題に言い換えることができる場合がある．これに注目することで，HenniartによるCarayol表現の自己随伴表現のSwan導手の公式を，二階外積の場合に拡張した．最後に行った研究が，GL(n)の局所Langlands対応の研究である．本研究の最終目標にいたる前提として，まず最も基本的な連結簡約群であるGL(n)の場合に，KalethaとHarris-Taylorの局所Langlands対応が一致することを確かめておく必要がある．この問題に関して，時本一樹氏と共同で研究を実施し，所望の結果が得られた．TamによるGL(n)の場合のLanglands-Shelstad埋め込みの記述を用いることで，Bushnell-HenniartによるHarris-Taylorの局所Langlands対応の明示的記述を，Kalethaの構成に沿ったかたちで翻訳することができる．それによってGalois作用付きルート系を分類するという単純な問題に帰着し，あとは直接計算によって確認する，というのが大雑把な流れである．