Analysis on reproducing kernel Hilbert spaces

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本研究においては，多調和関数のなす再生核ヒルベルト空間を主な研究対象として，再生核ヒルベルト空間の一般論の構築を目指している．2022年度は，2021年度における有界な positive Toeplitz 作用素の特徴づけ問題の改良の続きとして，Toeplitz 作用素の定義域のクラスと値域のクラスの重み，指数を変えて，同様の作用素のコンパクト性の特徴づけ問題を考察した．考察の結果としては，改良した Berezin 変換，平均函数の有界性によって Toeplitz 作用素のコンパクト性の特徴づけを与えることができた．この改良については，Pau-Zhao-Zhu(2016)における正則ベルグマン空間におけるHankel作用素に対する同特徴づけと同じようなふるまいをしている．ただ，平均関数の議論としてCarleson測度との対応を考えるべきであるが，Carleson測度と見た際は素朴かつきれいな特徴づけであるが，平均函数の形で記述した際には，調和関数で見受けられるきれいな性質を持つことは見受けられないため，さらなる解釈が必要なように感じられる．また，2021年度にも進めていた正則２乗可積分な空間であるベルグマン空間上の有界な little Hankel 作用素の特徴づけ問題についても少しの進展がみられた．Axler '86 による結果の拡張として，定義域と値域を正則可積分の空間とした際の作用素の有界性をシンボルの log Bloch 函数 によって記述することがわかっていた．2022年度には，これらをもとに Bloch type 空間上の有界 little Hankel 作用素の特徴づけの考察を進めた（この話は山路哲史氏（神戸高専）との共同研究である）．