Study on blowup phenomena for Shcr\"odinger equations with non-gauge invariant power type nonlinearities

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2022年度の研究では，消散型波動方程式の初期値問題の爆発解析を進展させた．特に，初期位置と初期速度が相殺する場合の爆発解析について検討した．この場合，従来の弱形式を経由する爆発解析を直接適用することはできず，周期境界条件におけるシュレディンガー方程式の場合と同様に解の振動が与える影響を検討する必要がある．2022年度の研究では，直線上の消散型波動方程式に対して，周期境界条件でのシュレディンガー方程式の様な極端な不安定性はは発生しないものの，初期位置と初期速度が相殺する場合は，自己相互作用の形状に応じて解が延長される事が判明した．特に，解の存在最大時刻は，解の連続性の観点から延長できる最長の時刻まで延長される事を示した．解の存在最大時刻が延長される理由は，対応する自由解の減衰速度が，他の場合に比べて早い事に起因する．非線形問題の解は大凡自由解の周辺で発展する摂動論の枠組みで構成する．初期位置と初期速度が相殺する場合は，自己相互作用に由来するデュアメル項の影響と自由解が拮抗する時刻において，解が初期状態に比べて小さくなる為，更にそこから通常の摂動論によって解を構成する事で，解の存在最大時刻を精密に評価する事が可能となった．一方で2022年度の研究では，リー，ツォウの議論を改良し，解が非正値を維持したまま大域的に存在する為の初期状態の条件を拡張した．特に，従来の古典解を経由した議論を回避する為に，消散型波動方程式の波動方程式への変形を積分方程式の観点から整理した．具体的には，消散型波動方程式の発展作用素の積分核を構成するベッセル関数の計算を容易にする積分変数の変換を用いる事で，初期状態の滑らかさを全く仮定することなく，リー，ツォウの議論を拡張する事ができた．また，2022年度の研究では，更に詳細な爆発解析を進展されるた為に，対応する常微分方程式の解析を進展させた．