Study of properties of solutions to geometric higher order variational problems

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１．吉澤研介氏との共同による平面 p-elastica の研究を継続して行った。昨年度の段階で平面 p-elastica (p>1) の臨界点のレベルにおける完全な分類が得られていた。本年度はその研究を境界値問題に応用し、pinned boundary condition の下で臨界点およびエネルギー最小解の完全な分類を行った。またその帰結として、p-曲げエネルギーに対する Li-Yau 型不等式や p-弾性ネットワーク問題の最小解の存在定理を得た。更に続く研究において、平面曲線の曲率に依存する非常に一般的なクラスの変分問題に対し、エネルギー最小解や極小解（安定解）が満たすある種の最適な必要条件を得た。この理論は特に p-elastica に直接応用可能であり、特に重要な帰結として一般の closed p-elastica および非退化な pinned p-elastica の二つの場合において、臨界点の安定性の完全な分類を行った。２．剱持智哉氏との共同研究により、弾性流と呼ばれる四階放物型幾何学流に対して、初期時刻において上半平面に含まれているがしばらく経つと下半平面に含まれるような「移行解」の存在を考察した。二階放物型の典型例である曲線短縮流には最大値原理があるため、そのような解は現れない。本研究では、開曲線に対する長さ保存弾性流に対し、移行解が存在することを初めて証明した。また数値解析により、より広い枠組みで多くの移行解が存在し得ることを発見した。３．田中實氏との共同研究により、一般の Finsler 多様体の一般の閉部分集合からの距離関数の特異点集合が、DC (delta-convex) 超曲面の可算和と余次元２以上の除外集合の和集合で表示できることを示した。これは通常の Euclid 空間においても新しい結果であり、また DC 正則性は最適である。