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Study of properties of solutions to geometric higher order variational problems

几何高阶变分问题解的性质研究

基本信息

批准号：
20K14341
负责人：
三浦達哉
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

１．吉澤研介氏との共同による平面 p-elastica の研究を継続して行った。昨年度の段階で平面 p-elastica (p>1) の臨界点のレベルにおける完全な分類が得られていた。本年度はその研究を境界値問題に応用し、pinned boundary condition の下で臨界点およびエネルギー最小解の完全な分類を行った。またその帰結として、p-曲げエネルギーに対する Li-Yau 型不等式や p-弾性ネットワーク問題の最小解の存在定理を得た。更に続く研究において、平面曲線の曲率に依存する非常に一般的なクラスの変分問題に対し、エネルギー最小解や極小解（安定解）が満たすある種の最適な必要条件を得た。この理論は特に p-elastica に直接応用可能であり、特に重要な帰結として一般の closed p-elastica および非退化な pinned p-elastica の二つの場合において、臨界点の安定性の完全な分類を行った。２．剱持智哉氏との共同研究により、弾性流と呼ばれる四階放物型幾何学流に対して、初期時刻において上半平面に含まれているがしばらく経つと下半平面に含まれるような「移行解」の存在を考察した。二階放物型の典型例である曲線短縮流には最大値原理があるため、そのような解は現れない。本研究では、開曲線に対する長さ保存弾性流に対し、移行解が存在することを初めて証明した。また数値解析により、より広い枠組みで多くの移行解が存在し得ることを発見した。３．田中實氏との共同研究により、一般の Finsler 多様体の一般の閉部分集合からの距離関数の特異点集合が、DC (delta-convex) 超曲面の可算和と余次元２以上の除外集合の和集合で表示できることを示した。これは通常の Euclid 空間においても新しい結果であり、また DC 正則性は最適である。

1. Kensuke Yoshizawa とと common による plane p-elastica <s:1> study を継続てて line った. Yesterday's annual の Duan Jie で plane p - elastica (p > 1) の point のレベルにおける completely な category がられていた. This year はその research on を boundary numerical problem に応し, pinned boundary condition under ので point およびエネルギー minimal solution の completely な classification line をった. またその帰 knot として, p - げエネルギーにす seaborne る Li - type Yau inequality や p - 弾 sex ネットワークのの minimum solution existence theorem をた. More に続く research においての curvature, plane curve に dependent する very に general なクラスの - points problem にし, seaborne エネルギー minimal solution や minimal solution (settle) が against たすある kind of necessary conditions the optimal なのをた. はこの theory, に p - elastica に応 directly with possible であり, important なに帰 knot として general の closed p - elastica および nondegenerate な pinned p - elastica の two つの occasions において, critical point の stability の completely な classification line をった. 2 剱 hold intellectual zai's との joint research により, 弾 flow と shout ばれる fourth-order put content flow type geometry にし seaborne て, early moments において contains half plane にまれているがしばらく経つと contains half plane にまれるような existence の "transitional solution" を investigation した. A typical example of the second-order release type <s:1>, the である curve shortening current に, the <s:1> maximum value principle があるため, and the そようなような solution に reveal れなような. This study では, open curve にす seaborne る long さ save 弾 sexual flow にし, seaborne migration solutions がすることを early めて prove した. また the numerical analytical により, より hiroo い枠 group みで more くのが transitional solution し must ることを発 see した. 3 Minoru tanaka's との joint research により, general の Finsler の others body の usually closed part of the collection からの distance masato の specific point set が, DC (delta - convex) hypersurface の can calculate and と yu yuan 2 above except の set の and set で said できることを shown した. <s:1> れにお usually, in a <s:1> Euclid space, におてててて the result of a new oath is であであ and また, and the regularity of DC is <s:1> optimal である.