非線形問題における解の形状と曲率の効果の研究

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曲線や曲面に対する曲げエネルギーの最小化問題は、薄い弾性体のモデルとして古くは18世紀から研究されているが、現在でも多くの未解決問題が残されている。特に二次元問題や自由境界問題については理論的に未完成の部分も多く、現在でも国際的に活発に研究されている分野の一つである。今年度は特に一次元問題と二次元問題の間にある理論的な溝の解明に焦点を当てた。本年度訪問した Magdeburg および Lisbon では、筆者が過去に得た一次元の結果が二次元曲面に対しどこまで成り立つかについて議論し、ある種の対称性（たとえば軸対称性）の下では一定の拡張が与えられることを示した。一方で対称性がない場合の自由境界問題を扱うには本質的に弱解の理論が未発達であることも判明したため、幾何学的測度論などを用いた理論の構築も見据える必要がある。またその他の課題として、滑らかでない集合に対する最小跡の一般論の構築にも取り組んだ。滑らかな部分多様体の最小跡に関する理論は数多くあるが、解析学的に見た最小跡はその集合からの距離関数の特異点集合と見做せるため、可能な限り滑らかでない集合に対する理論が自然に要請される。本年度は筆者が過去に得ていたユークリッド空間の C^1 級超曲面の最小跡の特徴付けを、東海大学の田中實氏との議論により完備リーマン多様体においても示すことに成功した。また現在も曲面の正則性や余次元の一般化などを見据え議論を続けている。最後に当初予定していなかった方向性として、最適輸送写像に関する境界正則性理論の構築を Leipzig の Felix Otto 氏と共同で進めた。この正則性理論は最大値原理を用いないことが一つの特徴であり、本理論それ自体も非常に興味深いものであるが、同時に本研究の主題の一つである曲げエネルギーの最小化問題における境界正則性理論の足掛かりとなることも期待できる。