非線形問題における解の形状と曲率の効果の研究

非线性问题中解形状和曲率影响的研究

• 批准号: 18J30004
• 负责人: 三浦 達哉
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-25 至 2021-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18J30004/
• 关键词: 弾性曲線; 弾性曲面; 曲げエネルギー; 最小跡; 距離関数; 最適輸送; 正則性

曲線や曲面に対する曲げエネルギーの最小化問題は、薄い弾性体のモデルとして古くは18世紀から研究されているが、現在でも多くの未解決問題が残されている。特に二次元問題や自由境界問題については理論的に未完成の部分も多く、現在でも国際的に活発に研究されている分野の一つである。今年度は特に一次元問題と二次元問題の間にある理論的な溝の解明に焦点を当てた。本年度訪問した Magdeburg および Lisbon では、筆者が過去に得た一次元の結果が二次元曲面に対しどこまで成り立つかについて議論し、ある種の対称性（たとえば軸対称性）の下では一定の拡張が与えられることを示した。一方で対称性がない場合の自由境界問題を扱うには本質的に弱解の理論が未発達であることも判明したため、幾何学的測度論などを用いた理論の構築も見据える必要がある。またその他の課題として、滑らかでない集合に対する最小跡の一般論の構築にも取り組んだ。滑らかな部分多様体の最小跡に関する理論は数多くあるが、解析学的に見た最小跡はその集合からの距離関数の特異点集合と見做せるため、可能な限り滑らかでない集合に対する理論が自然に要請される。本年度は筆者が過去に得ていたユークリッド空間の C^1 級超曲面の最小跡の特徴付けを、東海大学の田中實氏との議論により完備リーマン多様体においても示すことに成功した。また現在も曲面の正則性や余次元の一般化などを見据え議論を続けている。最後に当初予定していなかった方向性として、最適輸送写像に関する境界正則性理論の構築を Leipzig の Felix Otto 氏と共同で進めた。この正則性理論は最大値原理を用いないことが一つの特徴であり、本理論それ自体も非常に興味深いものであるが、同時に本研究の主題の一つである曲げエネルギーの最小化問題における境界正則性理論の足掛かりとなることも期待できる。

自18世纪以来，已经研究了最小化曲线和表面弯曲能量的问题，作为薄弹性物体的模型，但如今仍有许多未解决的问题。特别是，有许多理论上未完成的二维问题和自由边界问题的领域，而今天在国际上进行了积极研究的领域之一。今年，我们尤其专注于阐明一维问题和二维问题之间的理论凹槽。在我今年访问的马格德堡和里斯本，我讨论了过去对二维表面所获得的一维结果，表明某些扩展是在某些对称性下给出的（例如轴对称）。另一方面，已经发现，弱解决方案理论基本上是欠发达的，以便在没有对称性的情况下应对自由边界问题，因此也有必要使用几何措施理论来研究理论的构建。另一个挑战是构建一个不平滑集的最小痕迹的一般理论。关于平滑的子手机的最小痕迹有许多理论，但是由于可以将其最小痕迹视为与该集合的距离函数的单数集集，因此自然需要的集合的理论是尽可能不平滑的。今年，我成功地证明了我过去获得的C^1级超曲面的最小痕迹，即使在完整的Riemann歧管中，我也通过与Tokai University进行了讨论。我们今天还继续讨论，研究表面的规律性和共同维持性的概括。最后，在最初不计划的方向上，我们与莱比锡的费利克斯·奥托（Felix Otto）合作，在最佳运输映射上建立了边界规律性的理论。这种规律性理论的一个特征是它不使用最大价值原理，尽管该理论本身非常有趣，但也可以预期它可以作为边界规律性理论的垫脚石，这是最小化弯曲能量的问题，这是这项研究的主题之一。

项目成果

A variational perspective on planar elastic curves

平面弹性曲线的变分视角

• 发表时间: 2018
• 作者: 後藤ゆきみ;三浦達哉;細野元気;児玉大樹;高萩 敦，山﨑 匠，井口 亮，長野 方星，内田 健一;三浦達哉;三浦達哉;三浦達哉
• 通讯作者: 三浦達哉

Least energy elastic curves with boundary conditions

具有边界条件的最小能量弹性曲线

• 发表时间: 2018
• 作者: 後藤ゆきみ;三浦達哉;細野元気;児玉大樹;高萩 敦，山﨑 匠，井口 亮，長野 方星，内田 健一;三浦達哉;三浦達哉;三浦達哉;井口 亮，山﨑 匠，長野 方星，内田 健一;Takumi Yamazaki，Ryo Iguchi，Hosei Nagano，and Ken-ichi Uchida;三浦達哉;三浦達哉;三浦達哉;三浦達哉
• 通讯作者: 三浦達哉

Elastic curves and phase transitions

弹性曲线和相变

• DOI: 10.1007/s00208-019-01821-8
• 发表时间: 2019
• 期刊: Mathematische Annalen
• 影响因子: 1.4
• 作者: Natsumi KAWASHIMA;Tomoya KITAZAKI;Hiroyuki NOMURA;Akira NISHIYAMA;Kenji WADA;and Ichiro ISHIMARU;Miura Tatsuya
• 通讯作者: Miura Tatsuya

The dependence between adhesion, rigidity, and roughness

附着力、刚性和粗糙度之间的依赖性

• 发表时间: 2019
• 作者: 後藤ゆきみ;三浦達哉;細野元気;児玉大樹;高萩 敦，山﨑 匠，井口 亮，長野 方星，内田 健一;三浦達哉
• 通讯作者: 三浦達哉

A characterization of cut loci of non-smooth hypersurfaces

非光滑超曲面切割轨迹的表征

• 发表时间: 2018
• 作者: 後藤ゆきみ;三浦達哉;細野元気;児玉大樹;高萩 敦，山﨑 匠，井口 亮，長野 方星，内田 健一;三浦達哉;三浦達哉;三浦達哉;井口 亮，山﨑 匠，長野 方星，内田 健一;Takumi Yamazaki，Ryo Iguchi，Hosei Nagano，and Ken-ichi Uchida;三浦達哉
• 通讯作者: 三浦達哉