Discrete integration by parts on any convex polygon and design of structure-preserving numerical schemes

2022年度研究計画においては主に研究計画のステップ2からステップ4において想定していた過程計画を基に各分野の専門家と協働も含めたアプローチを行った．まず，本研究の本質的内容である構造保存を実現するために要請される離散的数学的性質についての研究に基づき，ステップ２にかけての研究の継続として基底空間離散化とその上での微分作用素の離散化への要請について基底空間の一般凸多角形分割と定数関数空間上での離散ベクトル解析の数学的な整理について研究を推進した．ステップ３としては既存の構造保存数値解法高速化手法について非線形性が多項式である場合の多段階化法との整合性を調べ適用可能であることを見出していたが，この離散化が変分構造を数学的に維持していることによるものであり数学的な自然な拡張であることを利用して高速化スキームの安定性について関数解析による解析を進めた．またステップ４として，新しい構造保存数値解法の数学的性質の解析に着手した．その課程において，より優れた離散化手法として近似誤差形状を制御可能な対数差分演算子を新たに構成していた．これは安定性等の側面で優れた性質をもつと期待してたがが，積型誤差混入に対する抵抗性などの新たな数学的性質も発見されるに至った．これらの成果は第27回計算工学講演会，ワークショップ「High-index saddle の探索アルゴリズムとその応用」などの研究集会・学会にて講演発表し，専門家と最新の知見を共有した．

2022年度研究計画においては主に研究計画のステップ2からステップ4において想定していた過程計画を基に各分野の専門家と協働も含めたアプローチを行った．まず，本研究の本質的内容である構造保存を実現するために要請される離散的数学的性質についての研究に基づき，ステップ２にかけての研究の継続として基底空間離散化とその上での微分作用素の離散化への要請について基底空間の一般凸多角形分割と定数関数空間上での離散ベクトル解析の数学的な整理について研究を推進した．ステップ３としては既存の構造保存数値解法高速化手法について非線形性が多項式である場合の多段階化法との整合性を調べ適用可能であることを見出していたが，この離散化が変分構造を数学的に維持していることによるものであり数学的な自然な拡張であることを利用して高速化スキームの安定性について関数解析による解析を進めた．またステップ４として，新しい構造保存数値解法の数学的性質の解析に着手した．その課程において，より優れた離散化手法として近似誤差形状を制御可能な対数差分演算子を新たに構成していた．これは安定性等の側面で優れた性質をもつと期待してたがが，積型誤差混入に対する抵抗性などの新たな数学的性質も発見されるに至った．これらの成果は第27回計算工学講演会，ワークショップ「High-index saddle の探索アルゴリズムとその応用」などの研究集会・学会にて講演発表し，専門家と最新の知見を共有した．