非線形偏微分方程式系に対する差分解法を導出する離散変分法の開発,解析および応用

离散变分方法的开发、分析和应用，用于推导非线性偏微分方程系统的差分解析方法

• 批准号: 13750060
• 负责人: 降籏 大介
• 金额: $ 1.6万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13750060/
• 关键词: 非線型偏微分方程式; 離散変分法; 保存則; 差分法; 高次差分; Cahn-Hilliard方程式; スペクトル法; Segel-Keller方程式

本年度の目的は,初年度の研究結果をふまえた上で離散変分法を多くの非線形偏微分方程式に適用し,その結果得られる数値スキームを理論的に解析するとともに実際に数値計算を行ない,各方程式の数値実験結果を必要とする分野へ貢献することであった.この目的に対して研究を行なった結果,いくつかの新しい知見が得られた.まず年度の前半にその性質がよく調べられている方程式を中心に離散変分法を適用して研究を行なった.これらの方程式に対しての多くの研究が数値スキームの性質も解析しているため,離散変分法を適用した結果と比較が可能であり,これは離散変分法の適用性の検証を行なうことにもなった.この過程で,非線形性が多項式で表現されるような場合はtime-multistage化とよばれる手法により非線形性のオーダを下げられることに注目し,離散変分法と組み合わせることにより,安定かつ線型な差分スキームを構成できる可能性を見いだした.Time-multistage化は非常に強い数値不安定性を伴うため通常は利用できないが,離散変分法のもたらす安定化効果の方が支配的な差分スキームを構成できれば,安定性と線形性の両方が同時に実現できるのである.この結果,Cahn.Hilliad方程式やEguchi-Oki-Matsumura方程式に対して実際に線型かつ無条件安定な差分スキームを構成し,その性質を数学的に証明することにも成功した.また,後期研究では,その性質が良く知られていないが離散変分法の適用対象となる非線形偏微分方程式を中心に,離散変分法を適用して研究を行ない,これらに関しても非線形性の強さに着目して分類することにより離散化が可能になる萌芽的な結果を得られつつある.以上の結果より,本年度は当初の計画に見込まれた多くの結果が得られたと評価できると考えるものである.

This year's goal is to obtain the results of the first year's study by using the discrete partial differential equation. The purpose of this study is to study the results of the study, and to find new knowledge. In the first half of the year, the properties of the equation are adjusted and the discrete method is applied to the study. A study on the properties of the equation and the application of the discrete analysis method is carried out. In this process, non-linear polynomials behave differently when time-multistageization is used, discrete methods are used, linear differential equations are used, and probability is used. Time-multistageization is usually used. The method of discrete decomposition is based on the principle of stability, and the method of linear decomposition is based on the principle of stability. As a result, Cahn. Hilliad equation and Eguchi-Oki-Matsumura equation are successfully proved mathematically for their properties. In the later stage of research, the properties of the discrete method are well known, and the application object of the discrete method is well known. In the center of the nonlinear partial differential equation, the discrete method is suitable. In the course of research, the non-linear method is strong, and the classification of the discrete method is possible. The above results, this year's original plan to see more results and get a review of the results.

项目成果

D.Furihata, T.Matsuo: "A Stable, Convergent, Conservative and Linear Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 20・1. 65-85 (2002)

D.Furihata、T.Matsuo：“Cahn-Hilliard 方程的稳定、收敛、保守和线性有限差分格式”日本工业与应用数学杂志 20・1（2002 年）。

T.Matsuo, M.Sugihara, D.Furihata, M.Mori: "Spatially accurate conservative or dissipative finite difference schemes derived by the discrete variational method"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 19・3. 311-330 (2002)

T.Matsuo、M.Sugihara、D.Furihata、M.Mori：“通过离散变分方法导出的空间精确保守或耗散有限差分格式”日本工业和应用数学杂志 19・3（2002）。

T.Matsuo, M.Sugihara, D.Furihara, M.Mori: "Spatially accurate conservative of dissipative finite difference schemes derived by the discrete variational method"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. (to be appeared).

T.Matsuo、M.Sugihara、D.Furihara、M.Mori：“通过离散变分方法导出的耗散有限差分格式的空间精确守恒”日本工业与应用数学杂志。

T.Matsuo, D.Furihata: "Dissipative or Conservative Finite Difference Schemes for Complex-Valued Nonlinear Partial Differential Equations"Journal of computational Physics. 171・2. 425-447 (2001)

T.Matsuo、D.Furihata：“复值非线性偏微分方程的耗散或保守有限差分方案”计算物理学杂志 171・2（2001）。

D.Furihata: "Finite difference schemes for nonlinear wave equation that inherit energy conservation property"Journal of Computational and Applied Mathematics. 134・1-2. 35-57 (2001)

D.Furihata：“继承能量守恒性质的非线性波动方程的有限差分格式”计算与应用数学杂志134・1-2（2001）。