位相的漸化式の視点からの完全WKB解析の再構成

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本研究は微分方程式の大域解析において自由エネルギーの役割を明確にすることが目的であり、微分方程式系における自由エネルギーの役割を明確にするために２変数超幾何微分方程式系を考察している。今年度は2変数超幾何微分方程式系の一つである(2,3)-超幾何微分方程式系の第２変数への制限から得られる3階常微分方程式について考察し、次の結果が得られた。Voros係数と自由エネルギーの間に成り立つ関係式の導出を行った。Voros係数はStokes現象を記述する際に用いられる完全WKB解析において非常に重要な量であり、得られた関係式は自由エネルギーが解の大域挙動を記述する際に重要な量であることを示唆している。得られた関係式から自由エネルギーの満たす差分方程式を導出し、自由エネルギーの明示公式を得た。その際に、自由エネルギーが第１変数に由来するパラメータに依存しないことを示した。さらに上記の二つの結果からVoros係数の明示公式も得た。こちらも第１変数に由来するパラメータに依存しないことが言えた。今回考察した(2,3)-超幾何微分方程式系は、第１変数への制限から得られる3階常微分方程式についての結果は、現在までの研究で既に得られており、今回の結果により二つの結果を比較することが可能となった。今後の研究でこれら二つの方程式の自由エネルギーの関係について考察し、微分方程式系との関係も明らかにしていきたい。