Random Matrix Theory: Free Probability Theory and beyond

本研究課題ではランダム行列理論における行列モーメントの計算手法や自由確率解析を, 作用素ノルムの計算へ応用する方向で深めていくことを目指している. 特に作用素ノルムの研究は多くの問題に関わっている. ランダム行列のサイズ極限を取ったときにその作用素ノルムの極限と行列のスペクトル分布(経験固有値分布)の極限分布の台の上限が一致するかという問題は非常に大きな関心を持たれ、また統計学や機械学習などへの応用も多い。２０２２年度部分の研究としてCharles Bordenave氏と次の成果を挙げた: ユニタリー群、直交群、対称群に一様に分布する複数の独立なN次元ランダムユニタリー行列の非可換多項式でその係数がN次元行列であるものを考える。このランダムな非可換多項式の作用素ノルムを研究した。ランダムなユニタリー行列を自由群フォン・ノイマン環のユニタリ生成元に置き換えた場合の対応と比較した。これによる一つ目の重要な結果はこの比較において今までにない強力な評価を得て、その系として、Peterson-Thom予想の新しい証明を与えることに成功した。第二の結果は、任意のC＊代数に係数を持つ独立なN次元ランダムユニタリ行列と置換行列の多項式の作用素ノルムに対する普遍的な定量的下界を与えたことである。置換行列に対するこの結果の変形は、Alon-Boppanaの下界を2つの方向で一般化した。一つ目に、線形多項式だけでなく、任意の多項式に適用可能にした。二つ目に、非負の実数だけでなく、非負の結合モーメントを持つ任意のC＊-algebraの係数に適用可能になった。

本研究課題ではランダム行列理論における行列モーメントの計算手法や自由確率解析を, 作用素ノルムの計算へ応用する方向で深めていくことを目指している. 特に作用素ノルムの研究は多くの問題に関わっている. ランダム行列のサイズ極限を取ったときにその作用素ノルムの極限と行列のスペクトル分布(経験固有値分布)の極限分布の台の上限が一致するかという問題は非常に大きな関心を持たれ、また統計学や機械学習などへの応用も多い。２０２２年度部分の研究としてCharles Bordenave氏と次の成果を挙げた: ユニタリー群、直交群、対称群に一様に分布する複数の独立なN次元ランダムユニタリー行列の非可換多項式でその係数がN次元行列であるものを考える。このランダムな非可換多項式の作用素ノルムを研究した。ランダムなユニタリー行列を自由群フォン・ノイマン環のユニタリ生成元に置き換えた場合の対応と比較した。これによる一つ目の重要な結果はこの比較において今までにない強力な評価を得て、その系として、Peterson-Thom予想の新しい証明を与えることに成功した。第二の結果は、任意のC＊代数に係数を持つ独立なN次元ランダムユニタリ行列と置換行列の多項式の作用素ノルムに対する普遍的な定量的下界を与えたことである。置換行列に対するこの結果の変形は、Alon-Boppanaの下界を2つの方向で一般化した。一つ目に、線形多項式だけでなく、任意の多項式に適用可能にした。二つ目に、非負の実数だけでなく、非負の結合モーメントを持つ任意のC＊-algebraの係数に適用可能になった。