Analysis on singularities of higher order geometric gradient flows

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本年度は種々のSobolev勾配流の時間大域可解性およびその漸近挙動、ならびにその収束先となる定常解構造を調べることに繋がる、種々の変分問題について研究を実施した。Sobolev勾配流の研究については、H2弾性流、束縛条件付きH2弾性流、knot汎函数と弾性エネルギーの和に対するH2勾配流、面積保存型H1曲線短縮流など、複数の問題について議論を開始し並行して研究を実施した。ここで、H2弾性流とは、曲率の二乗積分で与えられる弾性エネルギーに対する、Hilbert空間H2の意味での勾配流のことである。H2弾性流については、時間大域可解性を証明するとともに、elasticaとよばれる平衡状態への完全収束を証明することに成功した。特に、ここで示した完全収束においては各時刻における径数変換や曲線の位置ベクトルの平行移動といった補助を必要としない。これはH2弾性流における解析の中で使用する空間の完備性が大きく寄与した結果であり、本結果は、汎函数に適合した空間の意味で勾配流を構成することの利点を明示することに成功したと言える。この結果は論文として纏め、現在、学術誌に投稿中である。また、その他の研究課題についても研究を進めているところである。加えて、Gross-Pitaevskii固有値問題の解に完全収束するSobolev勾配流の構成や、曲線拡散流に対する移動境界問題などについても研究に向けた議論を開始した。一方、変分問題に関する研究については、関連する問題として、外力項付きの平均場方程式に対する分岐解析を実施した。非線形項が指数型非線形項も含む設定のもとで、問題の解の存在に関して分岐パラメータの閾値が存在することを証明した。現在は分岐パラメータがその閾値の場合に、実際に解が分岐することについて研究に取り組んでいる。