高いスケーリング性能と高精度性を併せ持つ次世代固有値・特異値分解ライブラリの開発

开发结合了高缩放性能和高精度的下一代特征值/奇异值分解库

基本信息

批准号：
19KK0255
负责人：
山本有作
金额：
$ 11.65万
依托单位：
The University of Electro-Communications
依托单位国家：
日本
项目类别：
Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (B))
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-10-07 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

並列計算に適した固有値・特異値分解の計算法であるブロックヤコビ法について，収束性・計算誤差などの理論的解析と，並列計算機上での高性能実装を進めている。今年度は，次の2つの項目について研究を行った。(1) 組合せ的前処理法の実装と性能評価。固有値計算向けブロックヤコビ法の収束加速手法として，非対角ブロックの消去前に，行と列の置換により絶対値の大きい要素を消去対象のブロックに集める組合せ的前処理がある。本前処理をブロックヤコビ法のプログラムに組み込み，「富岳」の1ノード上で性能評価を行った。その結果，最大20%程度の高速化が得られることを明らかにした。(2) 特異値分解向け片側ブロックヤコビ法（OSBJ法）の誤差解析。OSBJ法の中心部である，ブロックベクトル群の直交化について，丸め誤差解析を行った。OSBJ法では，列スケーリングを行った反復行列が良条件となることが多いが，その場合には，右特異ベクトル，左特異ベクトルの両方について，高い直交性を持つ数値結果が得られることを示した。これは，OSBJ法の信頼性に対する一種の理論的保証を与える。また，固有値・特異値分解と並んで計算物理分野で広く使われる行列関数の計算について，主に理論面から解析を行った。特に重要な行列関数である行列指数関数については，テイラー展開に基づく計算法の丸め誤差解析を行い，計算結果をよく再現する誤差上界を得た。また，固有値計算の部品として利用される行列符号関数については，二重指数型数値計算公式に基づく既存手法の離散化誤差と打切り誤差の解析を行い，既存の誤差上界を改善する結果を得た。

jacobian方法是一种用于计算特征值和适用于平行计算的奇异值分解的方法，正在通过对收敛和计算误差的理论分析以及对并行计算机上的高性能实现进行。今年，我们对两个项目进行了研究：（1）组合预处理方法的实施和绩效评估。用于特征值计算的Jacobian块中收敛加速的方法是一种组合预处理，其中在块中收集了具有较大绝对值的元素，可以通过更换行和柱子在擦除非亚测块之前删除。将这种预处理纳入了jacobi方法计划中，并在Fugaku的一个节点上评估了性能。结果，揭示了速度可以达到多达20％。（2）单侧块Jacobian方法（OSBJ方法）进行奇异值分解的误差分析。对块矢量组的正交化进行了四舍五入误差分析，这是OSBJ方法的中心。在OSBJ方法中，通常情况下，列缩放的迭代矩阵是一个良好的条件，但是在这种情况下，可以证明，右单个矢量和左单个矢量都可以获得很高的正交结果。这为OSBJ方法的可靠性提供了一种理论保证。此外，我们主要从理论的角度分析了矩阵函数的计算，这些计算在计算物理领域广泛使用，以及特征值和奇异值分解。对于矩阵指数函数，这是一个重要的矩阵函数，我们使用基于泰勒扩展的计算方法进行了舍入误差分析，并获得了一个误差上限，从而可以很好地重现计算结果。此外，对于用作特征值计算的组成部分的矩阵代码函数，我们根据双指数数值计算公式分析了离散错误和现有方法的截断错误，并获得了改善现有的上限误差的结果。