高いスケーリング性能と高精度性を併せ持つ次世代固有値・特異値分解ライブラリの開発

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並列計算に適した固有値・特異値分解の計算法であるブロックヤコビ法について，収束性・計算誤差などの理論的解析と，並列計算機上での高性能実装を進めている。今年度は，次の2つの項目について研究を行った。(1) 組合せ的前処理法の実装と性能評価。固有値計算向けブロックヤコビ法の収束加速手法として，非対角ブロックの消去前に，行と列の置換により絶対値の大きい要素を消去対象のブロックに集める組合せ的前処理がある。本前処理をブロックヤコビ法のプログラムに組み込み，「富岳」の1ノード上で性能評価を行った。その結果，最大20%程度の高速化が得られることを明らかにした。(2) 特異値分解向け片側ブロックヤコビ法（OSBJ法）の誤差解析。OSBJ法の中心部である，ブロックベクトル群の直交化について，丸め誤差解析を行った。OSBJ法では，列スケーリングを行った反復行列が良条件となることが多いが，その場合には，右特異ベクトル，左特異ベクトルの両方について，高い直交性を持つ数値結果が得られることを示した。これは，OSBJ法の信頼性に対する一種の理論的保証を与える。また，固有値・特異値分解と並んで計算物理分野で広く使われる行列関数の計算について，主に理論面から解析を行った。特に重要な行列関数である行列指数関数については，テイラー展開に基づく計算法の丸め誤差解析を行い，計算結果をよく再現する誤差上界を得た。また，固有値計算の部品として利用される行列符号関数については，二重指数型数値計算公式に基づく既存手法の離散化誤差と打切り誤差の解析を行い，既存の誤差上界を改善する結果を得た。