Development of analysis method for critical problems with logarithmic singularity

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半線型熱方程式の適切性，特に一意性と非一意性について研究を行った．Ni--Sacksに端を発する非一意性の研究は特異定常解の構成が鍵となる．この特異定常解の構造が，非線形項の増大度に応じて劇的に変化することが知られている．具体的には，べき乗型の非線形項を次元が3以上の空間で考察すると，ある臨界指数が存在して，べき乗指数を変化させるとき臨界指数を境に特異定常解の斉次性が壊れる．一方，空間次元が2の場合には，臨界指数は形式的に無限大となり，べき乗非線形項は全て劣臨界としての振る舞いを見せる．本研究では空間2次元の場合にべき乗指数よりも真に強い非線形性，特に指数増大する非線形項を考察し，特異定常解とそこから分岐する滑らかな解を構成することで，3次元以上の臨界および優臨界に相当する結果を得た．その過程において，これまでの代表者の研究を発展させることでべき乗特有の従来の証明方法を改良し，一般的な指数増大度を持つ非線形項に対する特異定常解の構成方法を提案した．本結果は先行研究（Ibrahim--Kikuchi--Nakanishi--WeiおよびIoku--Ruf--Terraneo）を完全に含むものである．現在は投稿に向けて結果をまとめ，論文を執筆中である．さらに，Trudinger--Moser不等式の劣臨界近似をRadial lemmaの観点から導出し，Carleson--Changのエネルギーレベルへの収束性を証明した．この結果はProceedings AMSに掲載受理済みである．今年度は研究を発展させ，より強い収束性（例えばGamma convergenceや裁量定数の収束）の証明を試みた．その結果，劣臨界指数$p$に関する不等式の一様有界性が証明できればこれらの強い収束性が期待できることがわかった．現在は一様有界性の証明に継続して取り組んでいる．