非線形楕円型, 放物型方程式の正則性と臨界不等式

点击翻译按钮获取中文摘要

本年度も引き続き,楕円型,放物型偏微分方程式の正則性理論について研究した.正則性研究においては外力項を持つPoisson方程式の境界値問題が最も代表的である.先行研究において,解が満たす正則性は考察するEuclid空間の次元と外力項の可積分性条件に大きく依存することが知られている.特に空間が二次元で外力が可積分関数の場合には,基本解の特殊性から楕円型正則性が破綻するため超関数解は強解とならず,またSobolevの埋め込みの破綻が同時に起きるため解は弱解(エネルギークラスに属する解)にもならない.この意味で空間二次元,外力可積分条件の場合における正則性研究は二重臨界問題と呼ばれており,次の二つの方向に研究が進んでいる.一つはBrezis-Merleによる指数可積分性を用いた正則性の表現であり,もう一つは解の平均振動の有界性(BMO評価)を用いた正則性の表現である.以上の背景を踏まえ,本年度の研究においては,前者の可積分性を用いた方法に着目し,臨界問題の高次元化であるN-Laplace方程式,臨界問題の時間発展化である二次元熱方程式の正則性問題を研究した.高次元化問題においては,対応する非臨界問題との相違点を明確にした.また,時間発展化問題においては空間振動有界性,時間についての有界性評価を最良定数込みで求めた.熱方程式の解は外力項が時間に依存しない場合,定常問題の解に収束することが知られているため,この結果は定常問題の拡張になっている.また,これまでの臨界正則性を更に発展させるため,ポテンシャル項付きの臨界問題(Hardyの不等式)の研究を開始した.本研究では特に,既存の有界領域における結果を自然に全空間に拡張することを考え,対数補正項を用いない形での臨界正則性を部分的に得た.