非線形楕円型, 放物型方程式の正則性と臨界不等式

非线性椭圆方程和抛物方程的正则性和临界不等式

• 批准号: 10J01516
• 负责人: 猪奥 倫左
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Ehime University (2011)Tohoku University (2010)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2010
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2010 至 2011
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10J01516/
• 关键词: Orlicz空間; BMO評価; Brezis-Merleの不等式; 半線形熱方程式; Riarrangement; Hardyの不等式

本年度も引き続き,楕円型,放物型偏微分方程式の正則性理論について研究した.正則性研究においては外力項を持つPoisson方程式の境界値問題が最も代表的である.先行研究において,解が満たす正則性は考察するEuclid空間の次元と外力項の可積分性条件に大きく依存することが知られている.特に空間が二次元で外力が可積分関数の場合には,基本解の特殊性から楕円型正則性が破綻するため超関数解は強解とならず,またSobolevの埋め込みの破綻が同時に起きるため解は弱解(エネルギークラスに属する解)にもならない.この意味で空間二次元,外力可積分条件の場合における正則性研究は二重臨界問題と呼ばれており,次の二つの方向に研究が進んでいる.一つはBrezis-Merleによる指数可積分性を用いた正則性の表現であり,もう一つは解の平均振動の有界性(BMO評価)を用いた正則性の表現である.以上の背景を踏まえ,本年度の研究においては,前者の可積分性を用いた方法に着目し,臨界問題の高次元化であるN-Laplace方程式,臨界問題の時間発展化である二次元熱方程式の正則性問題を研究した.高次元化問題においては,対応する非臨界問題との相違点を明確にした.また,時間発展化問題においては空間振動有界性,時間についての有界性評価を最良定数込みで求めた.熱方程式の解は外力項が時間に依存しない場合,定常問題の解に収束することが知られているため,この結果は定常問題の拡張になっている.また,これまでの臨界正則性を更に発展させるため,ポテンシャル項付きの臨界問題(Hardyの不等式)の研究を開始した.本研究では特に,既存の有界領域における結果を自然に全空間に拡張することを考え,対数補正項を用いない形での臨界正則性を部分的に得た.

This year, we introduce the research on regularity theory of partial differential equations of, and type. Regularity research is the most representative of the boundary value problem of Poisson equation. In this paper, we first study the regularity of solution, investigate the integrability conditions of the external force term in Euclid space, and investigate the dependence of solution. In particular, when the external force is integrable in two dimensional space, the particularity of the fundamental solution, the regularity of the super-correlation solution, the strong solution, the flaw of the Sobolev solution, the weak solution, and the weak solution. This means that the space is quadratic, and the external force can be integrated. A Brezis-Merle index integrality is used in the performance of regularity. This year's research focuses on the integrality of the former, the higher-dimensional N-Laplace equation of critical problems, and the time evolution of critical problems. High dimensional problems, noncritical problems and contradictory points are clear. The problem of time evolution is boundedness of space vibration, boundedness of time evolution is evaluation of optimal number. When the solution of the thermal equation depends on the external force term, the solution of the steady state problem is bound to the solution, and the result is bound to the solution of the steady state problem. The critical problem (Hardy's inequality) of the critical regularity of the equation is studied. In this paper, we study the existence of bounded fields, the results of the expansion of natural whole spaces, the application of correction terms, the critical regularity and the partial results.

项目成果

非斉次二次元熱方程式に対する振動型評価の最良定数

非齐次二维热方程振荡评估的最佳常数

• 发表时间: 2011
• 作者: 元木業人;徂徠和夫;猪奥倫左
• 通讯作者: 猪奥倫左

The Cauchy problem for heat equations with exponential nonlinearity

• DOI: 10.1016/j.jde.2011.02.015
• 发表时间: 2011-08
• 期刊: Journal of Differential Equations
• 影响因子: 2.4
• 作者: Norisuke Ioku

Brezis-Merle type inequality for a heat equation in two dimensions

二维热方程的 Brezis-Merle 型不等式

• 发表时间: 2011
• 期刊: Differential Integral Equations
• 作者: Ryoichi Onoda;Nobuyuki Takahashi;猪奥倫左
• 通讯作者: 猪奥倫左

Some space-time integrability estimates of the solution for heat equations in two dimensions

二维热方程解的一些时空可积性估计

• 发表时间: 2011
• 期刊: Discrete and Continuous Dynamical Systems
• 影响因子: 1.1
• 作者: Kazuhito Motogi;+11 Authors;小野田竜一・高橋伸幸;田渕豊;Hartmut Schedel;猪奥倫左
• 通讯作者: 猪奥倫左

指数増大する非線形項を持つ半線形熱方程式の時間大域解について

非线性项呈指数增长的半线性热方程的时间全局解

• 发表时间: 2010
• 期刊: 第32回発展方程式若手セミナー報告集
• 作者: Yasushi Shimoda;Shunsuke Kotani;Masaharu Sugiura;Makoto Nakajima;松本良恵・小野田竜一・神信人;Kazuhito Motogi (+ 5 Authors);田渕豊;上田善弘;猪奥倫左
• 通讯作者: 猪奥倫左