q-指数関数と一般化三角関数を繋ぐオイラー型関係式

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臨界型関数不等式を劣臨界の連続極限として導出する研究を行い，Radial Lemmaから導かれるq指数関数を用いてMoser--Trudinger不等式の劣臨界近似を得た．不等式を成立させるような汎関数の劣臨界近似はいくらでも考えることができるが，本研究では集中レベルの連続性を持つような劣臨界近似の構成に成功した．得られた結果はProceedings AMSに掲載が決定している．また，この劣臨界近似をより強い収束性で示すために，Gamma--Convergenceの証明を試みた．最終的な結論までは得られていないが，結果が肯定的であることを示唆する部分的な結果を得た．より具体的には，劣臨界指数$p$に関する不等式の一様有界性が証明できればこれらの強い収束性が期待できることがわかった．現在は一様有界性を証明するために，汎関数の構造を精査するとともに，Moserによる原証明に立ち返って研究を進めている．また，本研究の主題であるオイラー型関係式を探るため，非線形固有値問題との関連性を考察した．特にq三角関数やq指数対数関数そのものではなく，背後にある微分方程式の構造を解析した．具体的には両q関数が関数不等式の最良定数を達成する最適化関数として現れることに注目し，最良定数の連続性から両関数の関連性を探ったが，現在までに明確な関連性を得るには至っていない．今後は微分作用素の一般化なども含めて検討していく．