Representation Theory and Algebraic Analysis

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量子アフィン環はアフィンルート系に対応している。研究代表者は、さきに導入した量子アフィン環の有限次元既約表現の組に対する不変量をもちいて、これとは全く異なる量子アフィン環とルート系の対応を見いだした。これらの不変量を用いてアフィン量子群の既約表現の同型類の間に内積を入れると、基本表現達がルート系となることから、ADE型有限ルート系が自然な形であらわれる。このようにして、それぞれのアフィン量子群にADE型有限ルート系が対応することを見いだしたのである。また、同じADE型ルート系をもつアフィン量子群は、その有限表現全体の圏が同じ構造を持つことを示した。さらに、これをもちいて、量子アフィン環の加群圏の様々の部分圏が団モノイダル圏構造を持つことを示した。それには、上記の不変量とともに、鎖と呼ばれる組み合わせ論的概念を構築することによって得られた。これらの結果は、量子アフィン環と箙ヘッケ環が、Schur-Weyl対応を用いて関連しあうことが、証明の重要な鍵となっている。また、量子アフィン環の有限次既約表現の全体に、結晶基底の構造が入ることを示した。箙ヘッケ環の有限次既約表現の全体に研究代表者の導入した量子群の結晶基底の構造が入ることは既に知られていたが、これはその類似となっている。また、 量子アフィン環の有限次既約表現の全体の結晶基底は、箙ヘッケ環の有限次既約表現の全体の結晶基底が無限個重なりあってなりたっていることをしめした。量子アフィン環の結晶基底には、箙ヘッケ環の結晶基底にはなかった多くの対称性が現れることも重要な結果であり、将来の研究の緒となることが期待される。