リーマン・ヒルベルト対応のq類似とその周辺

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１．本研究の初期段階で導入した、単体的サイト上の局所自由O加群の圏、その下部にあるサイト上の局所自由O加群の圏、そして、古典的射影直線上の局所自由O加群の圏が同値であることがわかった。これにより、単体的サイト上の有理形q接続の圏と、下部にあるサイト上の有理形q接続の圏が同値であることが従う。２．より一般の差分について差分加群の枠組み（定義）をはっきりさせた。これにより、そのコホモロジーの定義は明確なものとなった。（一方で、具体的な実現は、各論としてさまざまであり、特にサイクルのホモロジーの定式化は、難しさが依然残っている。３．しかしながら、サイクルのホモロジーについて、q差分の場合については、高次元を含めだいぶ理解が進んできた。ドラームコホモロジーとのペアリングである、「積分」についても明確になりつつある。（グロタンディークによる高次元の留数を活用することになる。）４．ホロノミック系の定義が固まってきた。これに関連して、コーシー問題や、特異点のありかたが次第に明らかになりつつある。また、リーマン・ヒルベルト対応のあるべきステートメントが次第に明らかになりつつある。（特異点と関連して級数展開のありようが問題になるが、ここについては未だよくわかっていない。）以上のように差分加群（特にq差分加群）の理論整備において、技術的な面を含め細かい点を含め進展があった。現在、はっきりした部分について論文作成中である。今後は特に、サイクルのホモロジー、コーシー問題、特異点関連している部分を明確にすることが目標である。