物理と数学の協働によるNavier-Stokes乱流のエネルギーカスケードの解明

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乱流エネルギーカスケードの主要メカニズムである「渦伸長」が有する「スケール局所性」の数理的解明を進めた。すなわち、一般的には、非局所的な性質を持つとされる圧力が、実は極めて局所的なメカニズムを有することを、微分幾何学的手法を使うことで示すことが出来た。より具体的には、伸長している渦に対して詳細なラグランジュ座標を張り、そこから圧力が有する局所的なメカニズムを抽出することに成功した。そのことにより、大スケールの速度勾配テンソル（渦を引き伸ばす速度場）が沢山の微小スケールの渦を引き伸ばすことは殆ど起こりえないこと、すなわち、渦の引き伸ばしとして起こり得る大スケール速度場の流体粒子の軌道がかなり限定されることを示した。２次元乱流における散逸領域で起こり得る渦度場の幾何学的形状の研究も進捗させた。粘性ゼロ極限において３次元乱流のエネルギー散逸率が正値に収束することが広く知られているおり、その特徴的な渦の振る舞いを数学的に厳密に構成した。２次元乱流においても（ゼロへは収束するものの）そのゼロへの収束が遅くなることが知られている。そこでProtas氏らの研究グループが開発したoptimizing methodを駆使して、粘性ゼロ極限において、エネルギー散逸率がゼロへ収束するスピードが最も遅くなる渦度場の形状を特定した。それによると、渦が効率よく引き伸ばされながら粘性が効率よく働くような渦度の形状へと落ち着いていること（すなわち、３次元の場合と似ていること）を明らかにした。また、物理サイドにおける渦の階層に着目した乱流研究も進捗させた。特に、乱流中の渦の階層性から、乱流中の微小粒子のクラスタリング現象を明らかにし、更に、チャネル乱流においても、渦の階層性を有することを明らかにした。