双有理幾何学に現れる特異点の不変量の研究

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昨年度は次の定理Aを示し、論文としてまとめた。今年度もこの定理に関連する研究を行った。定理A 正の整数mを固定する。このとき次の条件を満たす正の整数p(m)が存在する。任意の重複度mの有理特異点であり、標数がp(m)以上の2次元次数付き環はF有理特異点である。今年度は定理Aを書いた論文で示した補題に１つ間違いを見つけたため、その修正をまず行った。補題はうまく修正できたため定理Aの主張はそのままであるが、この補題を修正したことにより、有理特異点がF有理特異点になるための標数の条件について調べやすくなった。2次元次数付き環で重複度mの有理特異点は無限個あるため定理Aの中のp(m)の上限を具体的に求めることが困難であったが、mとして具体的な数字をとったとき有限回のステップでp(m)の上限を調べられることがわかった。昨年度示した定理Aでは環は次数付き環という強い仮定をしていた。そこでこの仮定がない場合も同様の主張が成り立つのか調べた。重複度が2の場合は次数付き環でなくても定理Aは正しいため次に簡単な重複度が3の場合を調べたところいくつかの場合は重複度3に対して十分標数が大きければtautnessという性質を持つことが分かった。そのためtautnessが示されたDual graphをもつ特異点の場合は重複度3に対して十分標数が大きければ有理特異点がF有理特異点になることがわかった。他の研究としては重複度と最小対数的食い違い係数の関係について調べた。2次元対数的端末特異点の場合の最小対数的食い違い係数はDual graphから作られる連立1次方程式から求めることができることが知られている。この連立１次方程式から重複度と最小対数的食い違い係数の積が2以下になることがわかった。また3次元端末特異点の場合は重複度と最小対数的食い違い係数から1を引いたものの積が2以下であることが分かった。