超局所解析・半古典解析を用いたシュレディンガー作用素の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

今年度得られた研究結果は以下の通りである：(1)3 次元離散シュレディンガー作用素の l^p 型レゾルベントの解析を行った.この研究ではレゾルベント評価を，超曲面上の面積測度の Fourier変換の減衰オーダーを導出するという調和解析の問題に帰着できることを利用して 3 次元の場合の離散空間の異方 性の影響(レゾルベント評価が成り立つ最良の p)を明らかにした.この調和解析の問題は Erdos と Salmhofer により研究されていたが，それは部分的な研究でかつ最良な結果ではなかった.これらの問題を曲面の曲率の効果を詳しくみることで解決して最良な結果を得た.(2)1 次元トーラス上の実主要型の擬微分作用素を考察し，その本質的自己共役性と対応する Hamilton 流の完 備性の同値性を証明した.これにより，当初研究計画で予想していた主張を 1 次元の場合に証明でき，かつ近年Colin-de-VerdierとBihan によりなされた予想を部分的に解決した．手法としては，以前自身が書いた論文中の 反発型シュレディンガー作用素の場合の証明を応用した.今回考えているのは 1 次元の場合なので，実主要型という条件を用いると主シンボルが非退化な特異点しかもたないことがわかる．すると，特異点の周りで古典軌道 が具体的に計算可能でかつ radial 評価を使って特異性の伝播を計算することができる.(3)漸近的に Minkowski な Lorentz 多様体上で Klein-Gordon 作用素を考え，その極限吸収原理を証明した.また，レゾルベントの実軸への極限が Gerard と Wrochna により構成された Feynman 伝播関数と一致することを示した.