多様体の幾何構造とその上のシュレディンガー方程式の関係

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今年度得られた研究結果は以下の通りである．(1)中村周教授との議論により得られたユークリッド空間上における非楕円型微分作用素の本質的自己共役性に関する結果を論文にまとめて投稿した．また，非楕円型微分作用素の重み付きレゾルベントの有界性とスペクトルの絶対連続性を得た．(2)長距離型シュレディンガー作用素に対する磯崎-北田型修正作用素の簡単な構成法を得た．以前の論文('20 Math. Nachr.)では非楕円型作用素に対して，シンボルに関するある付加的な仮定のもとで磯崎-北田型修正作用素を構成していた．今回の構成法により，その付加的な仮定を外すことに成功した．(3)昨年度に考察していた反発型シュレディンガー作用素について，1次元の場合に，その自己共役拡大のスペクトルが離散的_になることを示した．また，多次元の場合にも極小定義域がL^2にコンパクトに埋め込めることが証明できた．(4)ディラック作用素及び分数階ラプラシアンについて，L^p型のポテンシャルを加えたシュレディンガー作用素を考察した．これらの作用素について，波動作用素の存在及び固有値が離散的であることを証明した．(5)野村祐司教授と研究討議を行い，離散シュレディンガー作用素の閾値共鳴状態について研究を行った．スペクトルの端点における閾値共鳴状態は連続シュレディンガー作用素の閾値共鳴状態と似た性質を持つこと，及びスペクトルの内部における閾値共鳴状態の非存在を証明した．(6)3次元の離散シュレディンガー作用素について，$l^p$型のレゾルベント評価が連続シュレディンガーの場合と同様の指数に対して成り立つことを示した．