Spectral and scattering theory for discrete Schrodinger operators

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離散シュレディンガー作用素は，連続空間上のシュレディンガー作用素を空間離散化した作用素であると同時に，固体力学で現れる強束縛近似によっても導出される作用素として知られている．このことから離散シュレディンガー作用素は通常のシュレディンガー作用素との類似性，相違性の双方を有していることが期待され，実際に類似性，相違性に関する研究結果が得られている．さらに，離散シュレディンガー作用素は考察対象となる格子の形状によっても性質が各々異なり，同作用素の豊かな多様性の一因になっている．本研究では，上記の離散シュレディンガー作用素を散乱理論，連続極限など様々な着眼点から研究し，それと同時に格子の形状依存性，通常のシュレディンガー作用素との比較を行うことで同作用素の理解をより深めることを目的としている．今年度は，一般の格子上での離散シュレディンガー作用素に長距離型と呼ばれる弱い減衰をもつポテンシャルを摂動させた時の散乱理論に関する結果を，プレプリントとして投稿した．また，上記の研究で用いた手法を応用することで，時間発展が離散的である量子ウォークの場合でも長距離散乱理論を構築することができ，この結果について研究集会で発表を行った．連続極限については，(1)量子グラフ上のシュレディンガー作用素の連続極限との比較，(2)六角格子上の非線形離散シュレディンガー方程式における連続極限，の独立した２つの共同研究を進行させ，オンラインでの研究打ち合わせ，討論を行った．また，連続極限の一般の格子の場合への一般化にむけた情報収集も行い，具体的な計算を進行させている．